반전 사상(inversion)
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개요
- 평면상에 직선이 주어져 있을 때, 평면위의 한 점을 그 직선에 대칭되는 점으로 보낼 수 있음.
- 그에 대응되는 개념으로, 평면상에 원이 하나 주어져 있을때, 점들을 그 원에 대칭인 점들로 보내는 사상을 '반전(inversion)이라 함.
- 두 점 P,P'가 주어진 원에 대해 대칭이라는 조건은 다음과 같이 정의할 수 있음.
- 두 점 P와 P'를 지나는 모든 직선과 원이 주어진 원과 수직으로 만남.
- 동치조건으로, 원의 반지름이 r 인경우 다음과 같은 조건을 만족시킬 때
\[OP\cdot OP'=r^2\]
- n차원 공간에서도 정의되며, 등각 사상 (conformal mapping)이다
리만구면상에서의 반전 사상
- 평면상에서의 반전 사상은 복소 리만 구면 상의 회전변환을 통하여 잘 이해할 수 있음.
반전 사상과 쌍곡기하학
- 반전을 반복할 때 얻을 수 있는 종류의 그림
- 반전 사상(inversion)은 푸앵카레 unit disk 모델에서, 모든 점들의 길이를 보존하는 등거리사상
- 따라서 위의 그림에 있는 삼각형들은 쌍곡기하학의 관점에서 보면, 모두 그 크기와 모양이 똑같음.
- 2차원 쌍곡기하학의 테셀레이션 항목 참조
n차원 유클리드 공간에서의 반전 사상
- 중심이 \(a\in \mathbb{R}^n\)이고, 반지름이 \(r>0\)인 구면 \(\{x\in \mathbb{R}^n|x-a|=r\}\)에 대하여, \(x\)의 반전 \(x'\)은 다음과 같이 주어진다
\[ x'=\frac{r^2(x-a)}{|x-a|^2}+a \]
- 등각 사상 (conformal mapping)에서의 정의를 따르면, conformal factor \(\Omega\)는 다음과 같이 주어진다
\[ \Omega=\frac{r^2}{(x-a)\cdot (x-a)} \]
2차원에서의 예
- 중심이 \((0,0)\)이고, 반지름이 \(1\)인 원에 대하여, 반전은 다음과 같은 변환이 된다
\[ (x,y)\mapsto (\frac{x}{x^2+y^2},\frac{y}{x^2+y^2}) \]
- conformal factor는 \[\Omega=\frac{1}{\left(x^2+y^2\right)}\]가 된다
3차원에서의 예
- 붉은색 점들과 푸른색 점들은 구면에 대하여 서로 반전의 위치에 놓여 있다
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관련된 대학 수학
관련된 항목들
계산 리소스
관련논문
- Circles and Spheres
- G. D. Chakerian, The Two-Year College Mathematics Journal, Vol. 11, No. 1 (Jan., 1980), pp. 26-4
블로그
- 비유클리드 기하학 입문(4) : 콕세터가 설명하는 반전(inversion) (피타고라스의 창)
- 비유클리드 기하학 입문(5) : 반전에 반전 … 반전만 구백번… (피타고라스의 창)