부분합과 급수

개요

부분합 : 수열 에서 새로운 수열 을 로 해서 만들어 낼 수 있다. 이 수열 을 의 <부분합> 이라고 부른다.

즉, :

예
- 거듭제곱의 합을 구하는 공식 참조
망원급수(telescopic sum) : 교육 과정 외이나 알아 두면 굉장히 도움이 됨. (외우지 말고 꼴을 익혀 주세요)
- 위의 꼴로 수열을 변형시키면 쉽게 부분합을 구할 수 있다.
  - ex)
  - ex)

급수 : 이 무한히 커질 때 부분합 이 어떤 수에 무한히 가까워질 때, 그것을 <급수> 라고 한다. 즉,

 이면  의 급수의 값은  이다.

\(\sum_{n=0}^{\infty} e^{-n\pi}=\frac{1}{1-e^{-\pi}}=\frac{e^{\pi}}{e^{\pi}-1}\)

이를 이용하면,

\(1+2\sum_{n=1}^{\infty} e^{-n\pi}=\frac{1}{1-e^{-\pi}}=\frac{e^{\pi}+1}{e^{\pi}-1}\)

코탄젠트 함수의 푸리에전개\[f(2\tau):=i \cot \pi\tau= 1+2\sum_{n=1}^{\infty}e^{2\pi i n \tau}\]\[\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {\frac {e^x + e^{-x}} {2}} {\frac {e^x - e^{-x}} {2}} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1} = i \cot ix \\]\[f(i)=i \cot i\frac{\pi}{2} = \coth \frac{\pi}{2} = \frac{e^{\pi} + 1} {e^{\pi} - 1}\]