삼각함수의 배각공식
개요
- 삼각함수는 다음과 같은 배각공식을 가짐
\[\cos 2\theta =2 \cos^2 \theta - 1\] \[\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta\] \[\cos 3\theta = 4 \cos^3\theta - 3 \cos \theta\] \[\sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3\theta\]
- 이 목록은 계속되며, 아래에 주어짐
\(\cos n\theta\)
- \(\cos n\theta\) 는 \(c= \cos \theta\)의 다항식으로 표현되며 체비셰프 다항식 이 사용됨
$$ \begin{array}{c|c|l} n & \cos n\theta & T_n(c) \\ \hline 0 & 1 & 1 \\ 1 & \cos (\theta ) & c \\ 2 & \cos (2 \theta ) & 2 c^2-1 \\ 3 & \cos (3 \theta ) & 4 c^3-3 c \\ 4 & \cos (4 \theta ) & 8 c^4-8 c^2+1 \\ 5 & \cos (5 \theta ) & 16 c^5-20 c^3+5 c \\ 6 & \cos (6 \theta ) & 32 c^6-48 c^4+18 c^2-1 \\ 7 & \cos (7 \theta ) & 64 c^7-112 c^5+56 c^3-7 c \\ 8 & \cos (8 \theta ) & 128 c^8-256 c^6+160 c^4-32 c^2+1 \\ 9 & \cos (9 \theta ) & 256 c^9-576 c^7+432 c^5-120 c^3+9 c \\ 10 & \cos (10 \theta ) & 512 c^{10}-1280 c^8+1120 c^6-400 c^4+50 c^2-1 \end{array} $$
\(\sin n\theta\)
- \(\sin n\theta\) 는 $s= \sin \theta$와 $c=\cos\theta$의 다항식으로 표현되며 체비셰프 다항식 이 사용됨
$$ \begin{array}{c|c|l} n & \sin n\theta & sU_n(c) \\ \hline 0 & 0 & 0 \\ 1 & \sin (\theta ) & s \\ 2 & \sin (2 \theta ) & 2 c s \\ 3 & \sin (3 \theta ) & 3 s-4 s^3 \\ 4 & \sin (4 \theta ) & 4 c s-8 c s^3 \\ 5 & \sin (5 \theta ) & 16 s^5-20 s^3+5 s \\ 6 & \sin (6 \theta ) & 32 c s^5-32 c s^3+6 c s \\ 7 & \sin (7 \theta ) & -64 s^7+112 s^5-56 s^3+7 s \\ 8 & \sin (8 \theta ) & -128 c s^7+192 c s^5-80 c s^3+8 c s \\ 9 & \sin (9 \theta ) & 256 s^9-576 s^7+432 s^5-120 s^3+9 s \\ 10 & \sin (10 \theta ) & 512 c s^9-1024 c s^7+672 c s^5-160 c s^3+10 c s \end{array} $$
역사
메모
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