슈바르츠 삼각형 함수

개요

automorphic 함수 \(w=S(\alpha,\beta,\gamma;z)\)
슈워츠 삼각형 함수라고도 불림
세 파라메터 a,b,c에 대한 초기하 미분방정식의 일차독립인 두 해의 비율로 얻어지는 함수
\(\alpha=1-c,\beta=b-a,\gamma=c-a-b\) 로 두자.
리만 사상 정리 에 의하면 복소상반평면을 \(\alpha\pi,\beta\pi,\gamma\pi\) 를 세 각으로 갖는 삼각형으로 보내는 해석함수가 존재한다
이 함수의 역함수를 라 한다
맴돌이군이 유한인 초기하 미분방정식에 대한 슈워츠 목록 의 연구에서 중요한 역할

초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)\[z(1-z)\frac{d^2w}{dz^2}+(c-(a+b+1)z)\frac{dw}{dz}-abw = 0\]
해는 오일러-가우스 초기하함수2F1 으로 표현된다
슈바르츠 s-함수는 다음과 같이 쓸 수 있다\[s(z)=\frac{z^{1-c}\,_2F_1(a',b';c';z)}{\,_2F_1(a,b;c;z)}=\frac{z^{1-c}\,_2F_1(a-c+1,b-c+1;2-c;z)}{\,_2F_1(a,b;c;z)}\]\[a'=a-c+1\], \(b'=b-c+1\), \(c'=2-c\)

\(s(0)=0\)
\(s(1)=\frac{\Gamma (2-c) \Gamma (c-a) \Gamma (c-b)}{\Gamma (1-a) \Gamma (1-b) \Gamma (c)}\)
\(s(\infty)=\frac{e^{i \pi (1-c)}\Gamma (b) \Gamma (c-a) \Gamma (2-c)}{\Gamma (c) \Gamma (b-c+1) \Gamma (1-a)}\)

오차방정식과 정이십면체
\(\alpha=1/5, \beta=1/2, \gamma=1/3\) 로 두면, \(a=-1/60,b=29/60,c=4/5\) 를 얻는다
\(a=-1/60,b=29/60,c=4/5\) 를 이용하면,\[s(z)=\frac{z^{1/5} \, _2F_1\left(\frac{11}{60},\frac{41}{60};\frac{6}{5};z\right)}{\, _2F_1\left(-\frac{1}{60},\frac{29}{60};\frac{4}{5};z\right)}\]
삼각형의 꼭지점\[s(0)=0\]\[s(1)=\frac{\Gamma \left(\frac{19}{60}\right) \Gamma \left(\frac{49}{60}\right) \Gamma \left(\frac{6}{5}\right)}{\Gamma \left(\frac{31}{60}\right) \Gamma \left(\frac{4}{5}\right) \Gamma \left(\frac{61}{60}\right)}\]\[s(\infty)=\frac{e^{\frac{i \pi }{5}} \Gamma \left(\frac{29}{60}\right) \Gamma \left(\frac{49}{60}\right) \Gamma \left(\frac{6}{5}\right)}{\Gamma \left(\frac{41}{60}\right) \Gamma \left(\frac{4}{5}\right) \Gamma \left(\frac{61}{60}\right)}\]

Koguchi, Yuto, Keiji Matsumoto, and Fuko Seto. ‘Schwarz Maps Associated with the Triangle Groups (2,4,4) and (2,3,6)’. arXiv:1505.01900 [math], 7 May 2015. http://arxiv.org/abs/1505.01900.
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