실해석적 아이젠슈타인 급수

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기

개요

  • \(\Re(s)>1\), \(\Im(\tau)>0\)인 복소수 \(s,\tau=x+iy \)에 대하여, 다음을 정의

\[ \begin{align} E(\tau,s) &=\sum_{(m,n)\ne (0,0)}{y^s\over|m\tau+n|^{2s}} \\ &=\sum_{\gamma\in \Gamma/\Gamma_{\infty}}\Im\left(\gamma(\tau)\right)^s \end{align} \] 여기서 \(\Gamma=SL(2,\mathbb{Z})\), \(\Gamma_{\infty}=\{\gamma\in \Gamma|\gamma \infty=\infty\}\),

해석적 확장

  • \(s>1\)에서 급수가 수렴하며, 전체 복소 평면으로 확장되며, \(s=1\)에서만 단순 폴을 가진다


크로네커 극한 공식

\[E(\tau,s) = {\pi\over s-1} + 2\pi\left(\gamma-\log(2)-\log(\sqrt{y}|\eta(\tau)|^2)\right) +O(s-1)\] 여기서 \(\gamma\) 는 오일러상수, 감마, \(\eta(\tau)\)는 데데킨트 에타함수



함수방정식

  • \(\xi(\tau,s) = \pi^{-s}\Gamma(s)E(\tau,s)\)로 두면, 다음을 만족한다

\[ \xi(\tau,s)=\xi(\tau,1-s) \]


마스 형식(Maass form)

\[\Delta=y^2\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)\]

  • 라플라시안 \(\Delta\)의 고유벡터

\[\Delta E(z,s)=s(s-1)E(z,s)\]

  • 실해석적 아이젠슈타인 급수는 마스 형식의 예이다


관련된 항목들


수학용어번역

  • analytic - 대한수학회 수학용어집



사전 형태의 자료


관련논문

  • Lagarias, Jeffrey C., and Robert C. Rhoades. “Polyharmonic Maass Forms for PSL(2, Z).” arXiv:1508.02652 [math], August 11, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.02652.

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'real'}, {'LOWER': 'analytic'}, {'LOWER': 'eisenstein'}, {'LEMMA': 'series'}]
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=실해석적_아이젠슈타인_급수&oldid=52039"