에르미트 다항식(Hermite polynomials)

개요

고전적인 직교다항식의 하나

확률론에서 등장
물리학의 양자조화진동자의 파동함수로 기술하는데 사용됨

정의

로드리게즈 공식

\[H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}(e^{-x^2})\]

직교성

weight함수

\[w(x) = \mathrm{e}^{-x^2}\]

$m\neq n$ 일 때

\[\int_{-\infty}^\infty H_m(x) H_n(x)\, w(x) \, \mathrm{d}x = 0\]

$m=n$ 일 때

\[\int_{-\infty}^\infty H_n(x) H_n(x)\, \mathrm{e}^{-x^2}\, \mathrm{d}x = n! \, 2^n \sqrt{\pi}\]

예

\[\int_{-\infty}^\infty H_4(x) H_4(x)\, \mathrm{e}^{-x^2}\, \mathrm{d}x = \int_{-\infty}^\infty (12-48 x^2+16 x^4)^2\, \mathrm{e}^{-x^2}\, \mathrm{d}x =384\sqrt{\pi}\]

에르미트 다항식의 미분

$H_n'(x) = 2nH_{n-1}(x)$

3항점화식

$H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-2nH_{n-1}(x)$

생성함수

$e^{2xt-t^2} = \sum_{n=0}^\infty H_n(x) \frac {t^n}{n!}=1+2 x t+\left(-1+2 x^2\right) t^2+\frac{2}{3} \left(-3 x+2 x^3\right) t^3+\frac{1}{6} \left(3-12 x^2+4 x^4\right) t^4+\cdots$

에르미트 미분방정식

$H_n(x)$ 는 $u'' - 2xu'+2n u=0$의 해이다

목록

$$ \begin{array}{c|c} n & H_n \\ \hline 0 & 1 \\ 1 & 2 x \\ 2 & 4 x^2-2 \\ 3 & 8 x^3-12 x \\ 4 & 16 x^4-48 x^2+12 \\ 5 & 32 x^5-160 x^3+120 x \\ 6 & 64 x^6-480 x^4+720 x^2-120 \\ 7 & 128 x^7-1344 x^5+3360 x^3-1680 x \\ 8 & 256 x^8-3584 x^6+13440 x^4-13440 x^2+1680 \\ 9 & 512 x^9-9216 x^7+48384 x^5-80640 x^3+30240 x \\ 10 & 1024 x^{10}-23040 x^8+161280 x^6-403200 x^4+302400 x^2-30240 \\ \end{array} $$

역사

수학사 연표

메모

매스매티카 파일 및 계산리소스

https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxX1N2eXJYYWhNbU0/edit

사전 형태의 자료