원주율의 BBP 공식

개요

• 원주율의 값을 16진수로 표현할 때, 각 자리에 어떤 값이 오는지를 구할 수 있게 해주는 공식
  
• Spigot 알고리즘의 대표적인 예이다
  
• 다음 공식에 의하여 얻어짐

\[\pi = \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6} \right)\label{bbp}\]

 

 

공식의 증명

\ref{bbp}가 다음의 등식과 동치이다 \[\pi=\int_{0}^{1/\sqrt{2}}\frac{4\sqrt{2}-8x^3-4\sqrt{2}x^4-8x^5}{1-x^8}\,dx\]

다음을 이용하면 된다 \[ \begin{align} \quad \int_{0}^{1/\sqrt{2}}\frac{x^{k-1}}{1-x^8}\,dx & = \int_{0}^{1/\sqrt{2}}\sum_{i=0}^{\infty}x^{k-1+8i}\,dx \\ {} & = \frac{1}{\sqrt{2}^k}\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{16^{i}(8i+k)} \end{align} \] ■

 

 

원주율의 16진법 전개

• http://www.wolframalpha.com/input/?i=pi+in+base+16\[\pi = 3.243f6a8885a308d313198a2e03707\cdots_{16}\]
  

 

 

역사

 

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사 연표
•  

 

 

메모

• http://blog.naver.com/j3b5mj2224/80067439599

 

 

 

계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxT2pPU1hfZFNZUFk/edit
• http://arminstraub.com/math/pslq-intro

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Bailey–Borwein–Plouffe_formula
• http://en.wikipedia.org/wiki/Spigot_algorithm

 

관련논문

• Kunle Adegoke, A non-PSLQ route to BBP-type formulas, arXiv:1603.08209[math.NT], March 27 2016, http://arxiv.org/abs/1603.08209v1, 10.5539/jmr.v2n2p56, http://dx.doi.org/10.5539/jmr.v2n2p56, Journal of Mathematics Research (2010) 2(2):56-64

• Pi: A 2000-Year Search Changes Direction
• On the rapid computation of various polylogarithmic constants
  
  • David Bailey; Peter Borwein; Simon Plouffe.Journal: Math. Comp. 66 (1997), 903-913.