유한군의 표현론

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경우 1.

경우 2.

nxn 실수 행렬의 곱셈은 결합법칙을 만족시키는가를 증명하는 법 두 가지
- 첫번째, 직접 계산
- 두번째, nxn 행렬을 R^n 을R^n으로 보내는 함수로 보면, 함수는 당연히 결합법칙을 만족하고, 행렬의 곱셈은 함수의 합성과 같으므로 곱셈은 결합법칙을 만족시킴.
첫번째 방법은 단지 결과를 확인할 뿐이나, 두번째 방법은 개념적인 이해를 가능하게 해주는 장점이 있음.

군 = 무언가의 대칭 = 대칭을 가지는 대상에 작용하는 변환
dihedral group을 정의하는 방법
- generator and relation을 사용하는 정의
- 다른 하나는 정다각형의 symmetry로 정의하는 방법
generator and relation을 사용하는 정의하는 경우는 여러가지 계산을 할수 있긴 하지만, 사실 기하학적인 정의없이는 의미없는 계산을 하고 있다고 생각하기 쉬움
주어진 군이 작용하고 있는 어떤 대칭적인 수학적 대상을 알지 못하면, 군에 대한 이해를 했다고 말하기가 어려움.
군이 어디에 작용을 하고 있는가 혹은 이 군은 대체 어디서 기원하는가 하는 질문들이 유한군 표현론의 중요한 질문들
diheral group이 주어져 있다면, 정다각형에 group이 어떻게 작용하고 있는가를 보면서, 2x2 행렬로 각각의 원소를 써볼 수 있음.
- 자연스럽게 군에서 GL(2, R)로 가는 homomorphism이 얻어지게 됨.
이런방식으로 symmetry를 벡터공간 쪽으로 가져 가면 좀더 일관적이고 체계적인 공부가 가능해지게 됨.

벡터공간 V에 주어진 군의 표현이란, 준동형사상 \(\rho \colon G \to GL(V) \,\!\) 을 말함.
\(\rho\)의 캐릭터는 \(\chi_{\rho}(g) = \mathrm{Tr}(\rho(g))\)로 정의됨
\(L^2(G)=\{f: G \to \mathbb{C}\}\) 의 내적은 다음과 같이 주어짐\[\left \langle \alpha, \beta\right \rangle := \frac{1}{ \left | G \right | }\sum_{g \in G} \alpha(g) \overline{\beta(g)}\]

\(\left \langle \chi_i, \chi_j \right \rangle = \begin{cases} 0 & \mbox{ if } i \ne j, \\ 1 & \mbox{ if } i = j. \end{cases}\)

기약 캐릭터의 직교성에 의하여 아벨군 \(G\) 와 함수 \(f:G \to \mathbb C\)에 대하여 다음과 같이 표현할 수 있다.\[f=\sum_{\chi \in \hat{G}} \left \langle f, \chi \right \rangle \chi\]