이차형식 x^2+5y^2

개요

\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-5})\)
판별식 d=-20
class number h=2
- 기약형식 \({x^2+5 y^2,2 x^2+2 x y+3 y^2}\)
타원 모듈라 j-함수 (j-invariant)\[ j(\sqrt{-5})=632000+282880 \sqrt{5}=(50+26\sqrt{5})^3\]\[j(\frac {-1+\sqrt{-5}}{2})=632000-282880 \sqrt{5}=(50-26\sqrt{5})^3\]
힐버트 class field \(K(\sqrt{5})=\mathbb{Q}(\sqrt{-5},\sqrt{5})\)

\(x^2+5y^2\)로 표현되는 400까지의 소수

5, 29, 41, 61, 89, 101, 109, 149, 181, 229, 241, 269, 281, 349, 389

20으로 나눈 나머지가 1이나 9인 400까지의 소수

29, 41, 61, 89, 101, 109, 149, 181, 229, 241, 269, 281, 349, 389

\(x^2+2 x y+3 y^2\)로 표현되는 400까지의 소수

2, 3, 7, 23, 43, 47, 67, 83, 103, 107, 127, 163, 167, 223, 227, 263, 283, 307, 347, 367, 383

20으로 나눈 나머지가 3이나 7인 400까지의 소수

3, 7, 23, 43, 47, 67, 83, 103, 107, 127, 163, 167, 223, 227, 263, 283, 307, 347, 367, 383

\(x^2-5 \pmod p\) 의 분해

20으로 나눈 나머지가 1,3,7,9인 소수 p에 대한 \(x^2-5 \pmod p\)의 분해
나머지가 1 또는 9인 경우에만 일차식으로 분해됨을 볼 수 있음
class field theory에 의해 예측할 수 있는 사실
다음 목록은 "소수p, p를 20으로 나눈 나머지, 다항식 x^2-5의 mod p분해"

3=3 mod 20, x^2-5=1+x^2 mod 3 7=7 mod 20, x^2-5=2+x^2 mod 7 23=3 mod 20, x^2-5=18+x^2 mod 23 29=9 mod 20, x^2-5=(11+x)(18+x) mod 29 41=1 mod 20, x^2-5=(13+x)(28+x) mod 41 43=3 mod 20, x^2-5=38+x^2 mod 43 47=7 mod 20, x^2-5=42+x^2 mod 47 61=1 mod 20, x^2-5=(26+x)(35+x) mod 61 67=7 mod 20, x^2-5=62+x^2 mod 67 83=3 mod 20, x^2-5=78+x^2 mod 83 89=9 mod 20, x^2-5=(19+x)(70+x) mod 89 101=1 mod 20, x^2-5=(45+x)(56+x) mod 101 103=3 mod 20, x^2-5=98+x^2 mod 103 107=7 mod 20, x^2-5=102+x^2 mod 107 109=9 mod 20, x^2-5=(21+x)(88+x) mod 109 127=7 mod 20, x^2-5=122+x^2 mod 127 149=9 mod 20, x^2-5=(68+x)(81+x) mod 149 163=3 mod 20, x^2-5=158+x^2 mod 163 167=7 mod 20, x^2-5=162+x^2 mod 167 181=1 mod 20, x^2-5=(27+x)(154+x) mod 181 223=3 mod 20, x^2-5=218+x^2 mod 223 227=7 mod 20, x^2-5=222+x^2 mod 227 229=9 mod 20, x^2-5=(66+x)(163+x) mod 229 241=1 mod 20, x^2-5=(103+x)(138+x) mod 241 263=3 mod 20, x^2-5=258+x^2 mod 263 269=9 mod 20, x^2-5=(126+x)(143+x) mod 269 281=1 mod 20, x^2-5=(75+x)(206+x) mod 281 283=3 mod 20, x^2-5=278+x^2 mod 283 307=7 mod 20, x^2-5=302+x^2 mod 307 347=7 mod 20, x^2-5=342+x^2 mod 347 349=9 mod 20, x^2-5=(62+x)(287+x) mod 349 367=7 mod 20, x^2-5=362+x^2 mod 367 383=3 mod 20, x^2-5=378+x^2 mod 383 389=9 mod 20, x^2-5=(86+x)(303+x) mod 389

역사

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