조화다항식(harmonic polynomial)

개요

• \(P^{(d)}\) : 차수가 \(d\)인 \(n\)변수 동차다항식(Homogeneous polynomial)이 이루는 \(\mathbb{C}[x_1,\cdots, x_n]\)의 부분공간
• 라플라시안(Laplacian) \(\Delta : P^{(d)} \to P^{(d-2)}\)를 다음과 같이 정의

\[\Delta f = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}\]

• \(\mathcal{H}^{(d)}:=\ker \Delta \)의 원소를 \(d\)차 조화다항식이라 한다
• 차원

\[ \dim \mathcal{H}^{(d)}=\binom{n+d-1}{d}-\binom{n+d-3}{d-2} \]

• \(n=3\)일 때, 조화다항식의 정의역을 단위구면 \(S^2\)에 제한하여, 구면조화함수(spherical harmonics) 를 얻는다

예

• 아래에서는 세 변수의 경우, 즉 \(n=3\)인 경우

2차 조화다항식

\[\begin{array}{l} x^2-y^2 \\ x y \\ x z \\ y z \\ y^2-z^2 \end{array}\]

3차 조화다항식

\[\begin{array}{l} -3 x^2 z+z^3 \\ -x^2 y+y z^2 \\ -x^3+3 x z^2 \\ -x^2 z+y^2 z \\ x y z \\ -3 x^2 y+y^3 \\ -x^3+3 x y^2 \end{array}\]

조화다항식과 구면조화함수

• \(\mathbb{C}[x,y,z]\)의 원소인 조화다항식을 단위구면 \(S^2\subset \mathbb{R}^3\)에서 정의된 함수로 볼 때, 구면조화함수(spherical harmonics) 를 얻는다

예

• 2차인 조화함수 \(-x^2+2 i x y+y^2\)
• 단위구면 (구면좌표계 참조) \(x = \sin (\theta ) \cos (\phi ),y= \sin (\theta ) \sin (\phi ),z= \cos (\theta )\)
• 다음을 얻는다

\[ -x^2+2 i x y+y^2=\sin ^2(\theta ) (-\cos (2 \phi )+i \sin (2 \phi ))=-e^{-2 i \phi } \sin ^2(\theta ) \]

• 이는 \(Y_{2}^{-2}(\theta,\phi)\) 의 상수배이다

메모

• http://mathoverflow.net/questions/78660/basis-for-the-space-of-harmonic-homogeneous-polynomial-in-n-variables

관련된 항목들

• 구면조화함수(spherical harmonics)

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxZTYxMGVkMjYtNTRhZS00YWJiLWEwMDktMjNmOGEwYjAwYzUx&sort=name&layout=list&num=50

관련논문

• Brackx, Fred, Hennie De Schepper, David Eelbode, Roman Lavicka, and Vladimir Soucek. ‘Fundaments of Quaternionic Clifford Analysis III: Fischer Decomposition in Symplectic Harmonic Analysis’. arXiv:1404.3625 [math], 14 April 2014. http://arxiv.org/abs/1404.3625.