차분방정식(difference equation) 과 유한미적분학 (finite calculus)
Pythagoras0 (토론 | 기여)님의 2021년 2월 17일 (수) 06:00 판
개요
- 수열의 합을 다루는 데 유용한 테크닉
- finite calculus 라는 이름으로 불리기도 함.
- 미적분학의 개념과 대응되는 점이 있음.
- 계차수열 ~ 미분
- 부분합 ~ 적분
계차수열과 부분합
- 계차수열
- 두 수열 \(F, f\) 는 \(\Delta F=f\)을 만족하는 두 수열이다. 즉 \(f(n)=F(n+1)-F(n)\)
- 미분의 역연산을 부정적분으로 정의하듯이, 계차수열이 f 가 되는 수열 F를 \(\Delta F=f\) 로 표현하자.
- 정리
두 수열 \(F, f\)가 \(\Delta F=f\)를 만족하면, 다음이 성립한다 \[\sum_{n=a}^{b-1}f(n)=F(b)-F(a)\]
- 증명
\[F(b)-F(a)=F(b)-F(b-1)+F(b-1)-F(b-2)+F(b-2)+\cdots+F(a+1)-F(a)=f(b-1)+f(b-2)+\cdots f(a)= \sum_{n=a}^{b-1}f(n)\]
■
- 수열 \(f\) 에 대하여 \(\sum_{n=a}^{b-1}f(n)\) 는 정적분에 대응되는 개념으로 이해할 수 있다
관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들
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사전형태의 자료
메모
- The Finite Calculus
- From the book 'A Primer of Analytic Number Theory' 1.2
관련논문
- Using the Finite Difference Calculus to Sum Powers of Integers
- Lee Zia, The College Mathematics Journal, Vol. 22, No. 4 (Sep., 1991), pp. 294-300
- Sums and Differences vs. Integrals and Derivatives
- Gilbert Strang, The College Mathematics Journal, Vol. 21, No. 1 (Jan., 1990), pp. 20-27
- An Elementary Exposition of the Theory of Finite Differences
- Saul Epsteen, The American Mathematical Monthly, Vol. 11, No. 6/7 (Jun. - Jul., 1904), pp. 131-136
- Telescoping Sums and the Summation of Sequences
- G. Baley Price, The Two-Year College Mathematics Journal, Vol. 4, No. 2 (Spring, 1973), pp. 16-29
- The Euler-Maclaurin and Taylor Formulas: Twin, Elementary Derivations
- Vito Lampret, Mathematics Magazine, Vol. 74, No. 2 (Apr., 2001), pp. 109-122
- An Euler Summation Formula
- Irwin Roman, The American Mathematical Monthly, Vol. 43, No. 1 (Jan., 1936), pp. 9-21
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