컴팩트 리만곡면의 자기동형군
개요
- 컴팩트 리만곡면의 자기동형군의 크기에 대한 정리
- Hurwitz의 정리
The order of the automorphism group of a compact Riemann surface M of genus g > 1 is bounded by 84(g-1).
증명의 아웃라인은 다음과 같다. (Riemann Surfaces, By Hershel M. Farkas, Irwin Kra Chapter V) 이 아웃라인에 대한 증명은 Complex Functions: An Algebraic and Geometric Viewpoint By Gareth A. Jones, David Singerman 에 잘 나와있다.
간략하게 답을 적자면,
(1) by the Uniformization theorem
(2) essentially by the monodromy theorem
(3) the image of a compact set under a continuous map is compact.
(4),(5) (fundamental domain for a subgroup) = union of several copies (same as index) of (fundamental domain for the original group)
이렇게 하고 보니, 학부생들에게 가르치기는 다소 무리가 있어 보이기도 한다. 우리가 공산당도 아니고… -_-
(2)와 (5)를 보면, 문제는
\(Area(U/\Gamma)\), \(Area(U/N(\Gamma))\)
을 구하는 것으로 귀결된다.
\(Area(U/\Gamma)=2\pi (2g-2)\)
때문에 그러하다.
이제
\(Area(U/N(\Gamma)) \ge \frac{\pi}{21}\)
을 보이는 일이 남았다.
이 부등식의 증명은 fundamental domain의 면적에 대한 지겔의 정리를 참조
이렇게 해서 Hurwitz’s theorem 대략 증명끝.
후르비츠 군
모든 후르비츠 군은 리만 곡면의 자기동형군으로 나타난다.
푸앵카레 상반평면의 2-3-7 타일링을 생각하자.
후르비츠 군은 a^2=b^3=c^7=abc=1 로 생성되는 군의 적당한 subgroup X의 quotient 군으로 나타나므로, 상반평면/X 는 이 후르비츠 군을 자기동형군으로 가진다.
메모
- Hurwitz의 정리: Compact Riemann Surface의 Automorphism group
- 피타고라스의 창, 2007-12-13
관련된 항목들
수학용어번역
- Hurwitz - 발음사전 Forvo
관련도서
- Hershel M. Farkas, Irwin Kra Riemann Surfaces
- Chapter V
- Gareth A. Jones, David Singerman Complex Functions: An Algebraic and Geometric Viewpoint
관련논문
- Andreas Schweizer, On the exponent of the automorphism group of a compact Riemann surface, http://arxiv.org/abs/1603.06697v1
- Paulhus, Jennifer. “Branching Data for Curves up to Genus 48.” arXiv:1512.07657 [math], December 23, 2015. http://arxiv.org/abs/1512.07657.