켤레복소수
Pythagoras0 (토론 | 기여)님의 2013년 8월 21일 (수) 12:26 판
개요
- 복소수 $z=x+i y$ ($x,y$는 실수)에 대하여 켤레복소수 $\bar{z}$는 $\bar{z}=x-iy$로 정의된다
실계수 방정식과 켤레복소수
\(\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})=\{\operatorname{id}, \sigma\}\)
\(\{\operatorname{id}, \sigma\}\)
\(\sigma^2(z)=\bar{\bar{z}}=z\)
(정리)
복소수 \(\alpha+\beta i\) (\(\alpha, \beta\)는 실수)가 실계수방정식 \(f(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0\), (\(a_n\neq 0 \)) 의 해이면, 켤레복소수 \(\alpha-\beta i\)도 이 방정식의 해이다.
(증명)
\(z=\alpha+\beta i\)라 두자. \(f(z)=a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + a_{n-2} z^{n-2} + \cdots + a_1 z + a_0 = 0\) 이다.
좌변과 우변에서 각각 켤레복소수를 취하면,
\(\overline{a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + a_{n-2} z^{n-2} + \cdots + a_1 z + a_0} = a_n \bar{z}^n + a_{n-1} \bar{z}^{n-1} + a_{n-2} \bar{z}^{n-2} + \cdots + a_1 \bar{z} + a_0=0\) 을 얻는다.
따라서 \(f(\bar{z})=f(\alpha-\beta i)=0\) 이 된다. (증명끝)
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