클라우센 함수(Clausen function)

개요

• 정의\[\operatorname{Cl}_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}\]

• 로그 사인 적분 (log sine integrals) 으로 일반화된다
• 로바체프스키 함수 와의 관계\[\operatorname{Cl}_2(2\theta)=2\Lambda(\theta)\]

다이로그 함수와의 관계

• 다이로그 함수(dilogarithm)는 복소수 \(|z|<1\)에 대하여 다음과 같이 정의됨

\[\operatorname{Li}_2(z)= \sum_{n=1}^\infty {z^n \over n^2}\]

• \(|z|\leq 1\) 에서 고르게 수렴하는 급수이므로, \(|z|\leq 1\)에서 연속
• \(z=e^{i\theta}\), \(0 \leq \theta \leq 2\pi\) 일때\[\operatorname{Li}_2(e^{i\theta})= \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{in\theta}}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos n\theta}{n^2}+i\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}\]\[\mathfrak{I}(\operatorname{Li}_2(e^{i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}=\operatorname{Cl}_2(\theta)\]
• 블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm)

덧셈공식

\(\Lambda(n\theta)=n\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{2k\pi}{n})\)

트리감마 함수와 special values

• \(\theta=p\pi/q\)일 때, (\(p,q\in\mathbb{N}\), \(p=1,2,\cdots,2q-1\))\[\operatorname{Cl}_2(\frac{p\pi}{q})=\frac{1}{4q^2}\sum_{r=1}^{2q-1}\psi^{(1)}(\frac{r}{2q})\sin\frac{rp\pi}{q}\] 여기서 \(\psi^{(1)}\)는 트리감마 함수(trigamma function)
• \(\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{2})=G\), \(G\)는 카탈란 상수
• \(\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{12}(\psi^{(1)}(\frac{1}{3})-\psi^{(1)}(\frac{2}{3}))\)
• http://mathworld.wolfram.com/GiesekingsConstant.html

역사

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사 연표

메모

\(\int_{0}^{\pi/3}\operatorname{Cl}_2(x)\,dx=\frac{2}{3}\zeta(3)\)

관련된 항목들

• 트리감마 함수(trigamma function)

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Clausen_function
• http://mathworld.wolfram.com/ClausensIntegral.html

관련논문

• A dilogarithmic integral arising in quantum field theory
  • Djurdje Cvijović, J. Math. Phys. 50, 023515 (2009)
• On a three-dimensional symmetric Ising tetrahedron and contributions to the theory of the dilogarithm and Clausen functions
  • Mark W. Coffey, J. Math. Phys. 49, 043510 (2008); doi:10.1063/1.2902996
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  • Mark W. Coffey, J. Math. Phys. 49, 093508 (2008); doi:10.1063/1.2981311
• Formulae concerning the computation of the Clausen integral Cl2(θ)
  • C.C. Grosjean, J. Comput. Appl. Math. 11 (1984), pp. 331–342
• On the Clausen integral Cl2(Θ) and a related integral
  • P. J. de Doelder, J. Comput. Appl. Math. 11, 325 (1984)
• Efficient Calculation of Clausen's Integral
  • Van E. Wood, Mathematics of Computation, Vol. 22, No. 104 (Oct., 1968), pp. 883-884