타원함수론 입문

이 공부에는 유비(analogy)적인 생각이 매우 유용하다.

무리함수적분 사인함수 원의 발견

\(\int_0^P{\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}}dz\)

이 함수를 제대로 이해하려면, 적어도 세 가지를 이해해야 한다.

첫번째

\(\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}\) 는 어떤 공간에 정의된 함수인가? 이것은 2 sheeted 리만 곡면에 정의된 함수이다.

두번째

\(\int_0^P{\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}}dz\) 는 그럼 또 어떤 공간에 정의된 함수인가?

P 역시 2 sheeted 리만 곡면에서 정의되어 있다. 다만 이 값은 경로에 의존할 것이다.

한가지 달라지는 것은 P는 무한대 점이 될 수 없다는 것이다.

세번째

이 함수의 공역은 무엇인가?

\(\int_0^x{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx+\int_0^y{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx=\int_0^{x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}}{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx\)

\(\arcsin x+\arcsin y=\arcsin(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})\)

\(\sin\left(x+y\right)=\sin x\cos y +\cos x \sin y\)

이렇게 정의역과 공역을 명확하게 하려는 노력에서 일차적으로 리만곡면이 발견되었고, 아벨-자코비의 이론이 싹트게 된다.

타원적분 타원함수 토러스의 발견

복소함수와 브랜치컷

하나의 브랜치가 고정되었다고 하자.

\(w=f(z)\)

\((z,w)\) 는 리만곡면의 하나의 점을 나타내는 방식이다.