톨레미의 정리

개요

• 원에 내접하는 사각형의 변의 길이 사이의 관계

내접사각형에 대한 톨레미의 정리

(정리)

사각형이 원에 내접할때, 두 대각선의 길이의 곱은 서로 마주보고 있는 두 변의 쌍의 길이의 곱의 합과 같다\[\overline{AC}\cdot \overline{BD}=\overline{AB}\cdot \overline{CD}+\overline{BC}\cdot \overline{AD}\]

삼각함수 덧셈공식의 유도

• \(AC=\sin (\theta_1+\varphi_3) \)
• \(BD=\sin (\varphi_1+\varphi_4)=\sin (\varphi_1+\varphi_3) \)
• \(AB=\sin \theta_1 \)
• \(CD=\sin \varphi_1 \)
• \(BC=\sin \varphi_3 \)
• \(AD=\sin \theta_3 \)
• \(AC\cdot BD=\sin (\theta_1+\varphi_3) \sin (\varphi_1+\varphi_3) \)
• \(AB\cdot CD+BC\cdot AD=\sin \theta_1\sin \varphi_1+\sin \varphi_3\sin \theta_3 \)
• 톨레미의 정리 \[\sin (\theta_1+\varphi_3) \sin (\varphi_1+\varphi_3)=\sin \theta_1\sin \varphi_1+\sin \varphi_3\sin \theta_3\]
• \(\theta_1+\varphi_3=\pi/2\)이면,\(\theta_3+\varphi_2=\theta_3+\varphi_1=\pi/2\) 이다.
• 따라서 \(\sin (\theta_1+\varphi_3)=1,\sin \theta_1=\cos \varphi_3, \sin \theta_3=\cos \varphi_1 \)
• 톨레미의 정리로부터 다음을 얻는다\[\sin (\varphi_1+\varphi_3)= \sin \varphi_1\cos \varphi_3+\sin \varphi_3\cos \varphi_1\]
• 삼각함수의 덧셈과 곱셈 공식
• http://www.cut-the-knot.org/proofs/sine_cosine.shtml

메모

• http://www.maths.gla.ac.uk/~wws/cabripages/hyperbolic/ptolemyproof.html
• An analogue of Ptolemy's theorem and its converse in hyperbolic geometry. http://goo.gl/iupfB

재미있는 사실

• 톨레미 알마게스트의 사인표(정확히는 현의 길이) 계산에 이용됨

관련된 항목들

• 정다각형의 대각선의 길이
• 정오각형
• 삼각함수

• 수학사 연표

사전형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Ptolemy%27s_theorem

관련논문

• Guo, Ren, and Nilgün Sönmez. 2010. Cyclic polygons in classical geometry. 1009.2970 (September 15). http://arxiv.org/abs/1009.2970.
• Apostol, Tom M. 1967. Ptolemy's Inequality and the Chordal Metric. Mathematics Magazine 40, no. 5 (November 1): 233-235. doi:10.2307/2688275.
• Ptolemy's Table of Chords Trigonometry in the Second Century