파울리 행렬
Pythagoras0 (토론 | 기여)님의 2013년 12월 15일 (일) 20:45 판
개요
- 전자의 스핀과 전자기장의 상호작용을 기술하기 위한 파울리 방정식 을 찾는 과정에서 등장
- 파울리 행렬
\[\sigma_1 = \sigma_x = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix} \]\[\sigma_2 = \sigma_y = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix} \]\[\sigma_3 = \sigma_z = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}\]
교환자 관계식
- \([\sigma _i,\sigma _j]=2i \epsilon _{i j k}\sigma _k\)
anti-commutator
- \(\left\{\sigma _i,\sigma _j\right\}=2\delta _{i j}\)
- \(\left\{I,\sigma _1,\sigma _2,\sigma _3,iI,i \sigma _1,i \sigma _2,i \sigma _3\right\}\) 를 기저로 갖는 클리포드 대수를 얻는다
- 3차원 유클리드 공간 \(E_{3}\)의 클리포드 대수\(C(E_{3})\)와 동형이다
사원수와의 관게
- 해밀턴의 사원수 참조
sl(2)
- raising and lowering 연산자
\[\sigma_{\pm}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}\pm i\sigma_{y})\] \[\sigma_{+}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}+ i\sigma_{y})=\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}\] \[\sigma_{-}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}- i\sigma_{y})=\begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{pmatrix}\] \[[\sigma_{z},\sigma_{\pm}]=\pm 2\sigma_{\pm}\]
여러가지 관계식
$$ \sigma_{+}^2=\sigma_{-}^2=0 $$
$$ \{\sigma_{+},\sigma_{-}\}=1 $$
$$ \sigma_{+}\sigma_{-}=(1+\sigma_z)/2 $$
$$ \exp(i \frac{\pi}{2}\sigma_z)=i\sigma_z $$
스핀
- 양자역학적 시스템의 간단한 예
- 스핀과 파울리의 배타원리 항목 참조
역사
관련된 항목들