페르마의 두 제곱의 합에 대한 정리

수학노트
Pythagoras0 (토론 | 기여)님의 2020년 12월 28일 (월) 05:58 판 (→‎메타데이터: 새 문단)
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개요

  • 두 정수 \(x,y\)에 대하여 \(x^2+y^2\) 형태로 표현될 수 있는 정수에 대한 문제
  • 소수 \(p\)에 대하여, \(p=2\) 또는 \(p \equiv 1 \pmod 4\) 이면 모두 적당한 정수 \(x,y\)에 대하여 \(x^2+y^2\) 형태로 표현가능
  • 소수 \(p=2\) 또는 \(p \equiv 1 \pmod 4\) 의 곱으로 표현되는 자연수는 \(x^2+y^2\) 형태로 표현가능


두 제곱의 합으로 표현되는 정수

두 제곱의 합으로 표현되는 400까지의 정수

  • 0, 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18, 20, 25, 26, 29, 32, 34, 36, 37, 40, 41, 45, 49, 50, 52, 53, 58, 61, 64, 65, 68, 72, 73, 74, 80, 81, 82, 85, 89, 90, 97, 98, 100, 101, 104, 106, 109, 113, 116, 117, 121, 122, 125, 128, 130, 136, 137, 144, 145, 146, 148, 149, 153, 157, 160, 162, 164, 169, 170, 173, 178, 180, 181, 185, 193, 194, 196, 197, 200, 202, 205, 208, 212, 218, 221, 225, 226, 229, 232, 233, 234, 241, 242, 244, 245, 250, 256, 257, 260, 261, 265, 269, 272, 274, 277, 281, 288, 289, 290, 292, 293, 296, 298, 305, 306, 313, 314, 317, 320, 324, 325, 328, 333, 337, 338, 340, 346, 349, 353, 356, 360, 361, 362, 365, 369, 370, 373, 377, 386, 388, 389, 392, 394, 397, 400


두 제곱의 합으로 표현되는 400까지의 소수

  • 2, 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157, 173, 181, 193, 197, 229, 233, 241, 257, 269, 277, 281, 293, 313, 317, 337, 349, 353, 373, 389, 397



자연수를 제곱의 합으로 표현하는 방법의 수

  • 자연수 \(n\in \mathbb{N}\)에 대하여 디오판투스 방정식 \(x^2+y^2=n\)의 해의 개수를 \(r_2(n)\)라 하자
  • \(\{r_2(n)\}_{n\geq 0}\)은 다음과 같은 수열이다

\[ 1, 4, 4, 0, 4, 8, 0, 0, 4, 4, 8, 0, 0, 8, 0, 0, 4, 8, 4, 0, 8, 0, 0, \ 0, 0, 12,\cdots \]

정리

\[r_2(n)=4\sum_{d|n}\chi(d)\] 여기서 \(n\)이 홀수이면 \(\chi(n)=(-1)^{\frac{n-1}{2}}\), \(n\)이 짝수이면 \(\chi(n)=0\).

증명

이차형식 \(Q(x,y)=x^2+y^2\)에 대한 Epstein 제타함수 \(\zeta_Q(s)\)는 다음을 만족한다 \[ \zeta_Q(s)=\sum_{(x,y)\in \mathbb{Z}^2\backslash\{(0,0)\}}\frac{1}{(x^2+y^2)^s}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{r_2(n)}{n^{s}} \] 수체 \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-1})\)의 데데킨트 제타함수 \(\zeta_{K}(s)\)는 다음을 만족한다 \[ \zeta_{K}(s)=\zeta_{Q}(s)/4 \] 한편 \(\zeta_{K}(s)\)는 다음과 같이 분해된다 (이차 수체의 데데킨트 제타함수 항목 참조) \[ \zeta_{K}(s)=\zeta(s)L_{-4}(s) \label{dec} \] 여기서 \(\zeta(s)\) 는 리만제타함수, \(L_{-4}(s)\)는 아래의 디리클레 L-함수 \[L_{-4}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n^{s}}\] \ref{dec}로부터 다음을 얻는다 \[ \zeta_{K}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sum_{d|n}\chi(d)}{n^{s}} \] 따라서 \(r_2(n)=4\sum_{d|n}\chi(d)\). ■


400이하의 소수

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397





4 로 나눈 나머지가 1인 소수

5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157, 173, 181, 193, 197, 229, 233, 241, 257, 269, 277, 281, 293, 313, 317, 337, 349, 353, 373, 389, 397


\(x^2+2y^2\)로 표현되는 400까지의 소수

2, 3, 11, 17, 19, 41, 43, 59, 67, 73, 83, 89, 97, 107, 113, 131, 137, 139, 163, 179, 193, 211, 227, 233, 241, 251, 257, 281, 283, 307, 313, 331, 337, 347, 353, 379


8로 나눈 나머지가 1이나 3인 소수

3, 11, 17, 19, 41, 43, 59, 67, 73, 83, 89, 97, 107, 113, 131, 137, 139, 163, 179, 193, 211, 227, 233, 241, 251, 257, 281, 283, 307, 313,331, 337, 347, 353, 379

\(x^2+3y^2\)로 표현되는 400까지의 소수

3, 7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 97, 103, 109, 127, 139, 151, 157, 163, 181, 193, 199, 211, 223, 229, 241, 271, 277, 283, 307, 313, 331, 337, 349, 367, 373, 379, 397


12로 나눈 나머지가 1이나 7인 소수

7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 97, 103, 109, 127, 139, 151, 157, 163, 181, 193, 199, 211, 223, 229, 241, 271, 277, 283, 307, 313, 331, 337, 349, 367, 373, 379, 397

\(x^2+4y^2\)로 표현되는 400까지의 소수


5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157, 173, 181, 193, 197, 229, 233, 241, 257, 269, 277, 281, 293, 313, 317, 337, 349, 353, 373, 389, 397


16으로 나눈 나머지가 1,5, 9,16 인 소수 (즉 4로 나눈나머지가 1인 소수)

5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157, 173, 181, 193, 197, 229, 233, 241, 257, 269, 277, 281, 293, 313, 317, 337, 349, 353, 373, 389, 397



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