펠 방정식(Pell's equation)

개요

\(x^2-dy^2=1\) (\(d\) 는 완전제곱수를 약수로 갖지 않는 1보다 큰 자연수)형태의 디오판투스 방정식
연분수 전개를 통하여 모든 해를 구할 수 있음
해의 집합은 군의 구조를 통하여 이해할 수 있음
\(x^2-dy^2=\pm 1\) 의 자연수 해를 구하는 문제는 실수 이차 수체의 unit 을 구하는 문제와 같음

연분수 전개와 fundamental solution

\(\sqrt{d}\) 를 연분수 전개할때 얻어지는 convergents \({h_i}/{k_i}\) 가 펠 방정식의 해가 되는 \(x=h_i, y=k_i\) 를 찾을 수 있으며, 이 때 \(x\)값을 가장 작게 하는 해를 fundamental solution 이라 한다.

정리

펠 방정식의 해는 연분수 전개의 convergents 중에서 찾을 수 있다.

증명

연분수와 유리수 근사 에서 펠 방정식에 관련한 중요한 정리는 다음과 같다

무리수 \(\alpha\)에 대하여, 유리수 \(p/q\)가 아래의 부등식을 만족시키는 경우, \(p/q\)는 무리수 \(\alpha\)의 단순연분수 전개의 convergents 중의 하나이다 \[|\alpha-\frac{p}{q}|<\frac{1}{2{q^2}}\]

이 정리를 이용하자.

펠 방정식 \(x_ {1}^2-dy_ {1}^2=1\)의 정수해 \((x_1,y_1)\)는 \[x_ {1}^2-dy_ {1}^2=(x_{1}+\sqrt{d}y_{1})(x_{1}-\sqrt{d}y_{1})=1\]를 만족시키므로, \[|x_{1}-\sqrt{d}y_{1}|=\frac{1}{|x_{1}+\sqrt{d}y_{1}|}\] \[|\sqrt{d}-\frac{x_{1}}{y_{1}}|=\frac{1}{|x_{1}+\sqrt{d}y_{1}||y_{1}|}<\frac{1}{\sqrt{d}y_ {1}^{2}}\leq \frac{1}{2y_ {1}^{2}}\]

따라서, 펠 방정식의 해는 연분수 전개의 convergents 중에서 찾을 수 있다. ■

예

d=7인 경우

\(\sqrt{7}\)의 연분수 전개를 통한 유리수근사\[\frac{2}{1},\frac{3}{1},\frac{5}{2},\frac{8}{3},\frac{37}{14}\cdots\]
펠 방정식의 해 찾기\[2^2-d\cdot 1^2=-3\]\[3^2-d\cdot 1^2=2\]\[5^2-d\cdot 2^2=-3\]\[8^2-d\cdot 3^2=1\]\[37^2-d\cdot 14^2=-3\]
따라서 펠 방정식 \(x^2-7y^2=1\)의 fundamental solution 은 \((8,3)\) 이된다

d=13

fundamental solution \((x_ 1,y_ 1)\) 가 \(y_ 1>6\) 를 만족시키는 가장 작은 d
\(649^2-13\cdot180^2=1\)

d=61

d=109

페르마의 문제
\(158070671986249^2 -109\cdot15140424455100^2=1\)

역사

수학사 연표

매스매티카 파일 및 계산 리소스

사전 형태의 자료

리뷰, 에세이, 강의노트

Lemmermeyer, Franz. 2003. “Conics - a Poor Man’s Elliptic Curves.” arXiv:math/0311306 (November 18). http://arxiv.org/abs/math/0311306.
Solving the Pell EquationH. W. Lenstra Jr. Notices of the AMS 49 (2002), 182-92

메타데이터

위키데이터

ID : Q16881080