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| − | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 수학노트 원문주소 | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 수학노트 원문주소== |
* [[미디의 정리(Midy's theorem)]] | * [[미디의 정리(Midy's theorem)]] | ||
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* [['142857의 신비' 해설|'142857의 신비']]에서처럼 142857과 같은 수를 적당한 자리마다 쪼개어 더했을때 9가 많이 나타나는 현상에 대한 일반적인 이해<br> | * [['142857의 신비' 해설|'142857의 신비']]에서처럼 142857과 같은 수를 적당한 자리마다 쪼개어 더했을때 9가 많이 나타나는 현상에 대한 일반적인 이해<br> | ||
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| − | ==순환마디의 길이가 2의 배수일때 | + | ==순환마디의 길이가 2의 배수일때== |
* 소수 p에 대하여, 분수 a/p (<math>1\leq a \leq p-1</math>) 를 십진법 전개할 때 얻어지는 순환마디의 길이가 2n 이고, 순환마디가 <math>a_1a_2\cdots a_{n} a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n}</math> 라 하자.<br><math>1\leq i \leq n</math> 에 대하여, <math>a_{i} + a_{i+n}=9</math> 이 성립한다.<br> 또한 <math>a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} = 99\cdots 99</math>(n개의 9) 가 성립한다.<br> | * 소수 p에 대하여, 분수 a/p (<math>1\leq a \leq p-1</math>) 를 십진법 전개할 때 얻어지는 순환마디의 길이가 2n 이고, 순환마디가 <math>a_1a_2\cdots a_{n} a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n}</math> 라 하자.<br><math>1\leq i \leq n</math> 에 대하여, <math>a_{i} + a_{i+n}=9</math> 이 성립한다.<br> 또한 <math>a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} = 99\cdots 99</math>(n개의 9) 가 성립한다.<br> | ||
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* p=17 | * p=17 | ||
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| − | <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">순환마디의 길이가 3의 배수일 때 | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">순환마디의 길이가 3의 배수일 때== |
* 소수 p에 대하여, 분수 1/p 를 십진법 전개할 때 얻어지는 순환마디의 길이가 3n 이고, 순환마디가 <math>a_1a_2\cdots a_{n} a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n}a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}</math> 라 하자.<br><math>a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}= 99\cdots 99</math> 가 성립한다<br> | * 소수 p에 대하여, 분수 1/p 를 십진법 전개할 때 얻어지는 순환마디의 길이가 3n 이고, 순환마디가 <math>a_1a_2\cdots a_{n} a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n}a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}</math> 라 하자.<br><math>a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}= 99\cdots 99</math> 가 성립한다<br> | ||
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* 단어사전<br> | * 단어사전<br> | ||
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* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxYWNhZDQwN2MtNjMyMS00ZDc2LTgzZTQtMzFmMTQxYWFmZWM0&sort=name&layout=list&num=50 | * https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxYWNhZDQwN2MtNjMyMS00ZDc2LTgzZTQtMzFmMTQxYWFmZWM0&sort=name&layout=list&num=50 | ||
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| − | ==사전 형태의 자료 | + | ==사전 형태의 자료== |
* http://ko.wikipedia.org/wiki/ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
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| − | ==리뷰논문과 에세이 | + | ==리뷰논문과 에세이== |
* [http://www.jstor.org/stable/3621748 A Curious String of Nines]<br> | * [http://www.jstor.org/stable/3621748 A Curious String of Nines]<br> | ||
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| − | ==관련논문 | + | ==관련논문== |
* Lewittes, Joseph. 2006. “Midy’s Theorem for Periodic Decimals”. <em>math/0605182</em> (5월 7). http://arxiv.org/abs/math/0605182 | * Lewittes, Joseph. 2006. “Midy’s Theorem for Periodic Decimals”. <em>math/0605182</em> (5월 7). http://arxiv.org/abs/math/0605182 | ||
2012년 11월 1일 (목) 12:49 판
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개요
- '142857의 신비'에서처럼 142857과 같은 수를 적당한 자리마다 쪼개어 더했을때 9가 많이 나타나는 현상에 대한 일반적인 이해
- 1+8=4+5=2+7=9
- 142 + 857=999
- 428 + 571=999
- 285 + 714=999
- 857 + 142=999
- 571 + 248=999
- 712 + 485=999
- 14+28+57=99
- 42+85+71=198=2*99
- 여기서 142857과 같은 수란 cyclic numbers 를 의미한다
- 대부분의 성질은 순환군 을 통하여 이해할 수 있다
- 더 구체적으로는 Z_p^{x} 에서 10^k 꼴의 원소로 생성되는 부분군과 그 coset 의 원소들의 합을 구하는 문제로 이해할 수 있다
순환마디의 길이가 2의 배수일때
- 소수 p에 대하여, 분수 a/p (\(1\leq a \leq p-1\)) 를 십진법 전개할 때 얻어지는 순환마디의 길이가 2n 이고, 순환마디가 \(a_1a_2\cdots a_{n} a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n}\) 라 하자.
\(1\leq i \leq n\) 에 대하여, \(a_{i} + a_{i+n}=9\) 이 성립한다.
또한 \(a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} = 99\cdots 99\)(n개의 9) 가 성립한다.
(증명)
분수 a/p (\(1\leq a \leq p-1\)) 를 생각하자.
\(g_k \equiv a10^k \pmod p\) 를 만족시키는 \(1\leq g_k \leq p-1\), \((k=0,1,\cdots,2n-1)\)를 정의하자. \(g_0=a\) 이다.
분수 a/p의 순환마디의 길이가 2n이면, \(10^n \equiv -1 \pmod p\) 가 성립하므로, \(g_n=p-a\) 임을 안다.
\(a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n}=\frac{g_0 10^n-g_n}{p} + \frac{g_{n} 10^n-g_0}{p}=\frac{(g_0+g_n)(10^n-1)}{p}=10^n-1\) ■
예 : 1176470588235294
- p=17
- 2/17 = 0.11764705882352941176470588235294...
- 11764705 + 88235294 = 99999999
- 이 경우엔 위의 증명에서 \(g_k\) 로 쓰인 수는 2, 3, 13, 11, 8, 12, 1, 10, 15, 14, 4, 6, 9, 5, 16, 7 로 주어진다
순환마디의 길이가 3의 배수일 때==
- 소수 p에 대하여, 분수 1/p 를 십진법 전개할 때 얻어지는 순환마디의 길이가 3n 이고, 순환마디가 \(a_1a_2\cdots a_{n} a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n}a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}\) 라 하자.
\(a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}= 99\cdots 99\) 가 성립한다
(증명)
순환마디의 길이가 3n인 분수 1/p 를 생각하자.
\(g_k \equiv 10^k \pmod p\), \(0\leq g_k \leq p-1\) 라 정의하자. \(g_0=1\) 이다.
\(g_{2n} \equiv g_n^2 \pmod p\), \(g_n^3 \equiv 1 \pmod p\) 이므로, \(g_0+g_n+g_{2n}\equiv 1+g_n+g_n^2=(g_n^3-1)/(g_n-1)\equiv 0 \pmod p\) 이다.
따라서 \(g_0+g_n+g_{2n}=p\) 또는 \(g_0+g_n+g_{2n}=2p\)가 성립한다.
그러나 \(1\leq g_k \leq p-1\) 이므로 \(1+g_n+g_{2n}=2p\)일 수 없다. 따라서 \(g_0+g_n+g_{2n}=p\)
\(a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}=\frac{g_0 10^n-g_n}{p} + \frac{g_{n} 10^n-g_{2n}}{p}+\frac{g_{2n} 10^n-g_{0}}{p}=\frac{(g_0+g_n+g_{2n})(10^n-1)}{p}=10^n-1\) ■
- 일반적으로 소수 p에 대하여, 분수 1/p 를 십진법 전개할 때 얻어지는 순환마디의 길이가 3n 이라고 하자.
분수 a/p (\(1\leq a \leq p-1\)) 또는 (p-a)/p (\(1\leq a \leq p-1\)) 의 순환소수전개를 생각하자.
둘 중의 하나는 \(a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}= 99\cdots 99\)
다른 하나는, \(a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}=2* 99\cdots 99\) 를 만족한다
예 : 052631578947368421
- p=19
- 1/19=0.052631578947368421052...
- 52631+578947+368421=999999
- p=7
- 3/7 = 0.4285714286...
- 42+ 85+71=198
- 4/7 = 0.5714285714
- 57+14+28=99
역사
메모
관련된 항목들
수학용어번역==
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxYWNhZDQwN2MtNjMyMS00ZDc2LTgzZTQtMzFmMTQxYWFmZWM0&sort=name&layout=list&num=50
- http://demonstrations.wolfram.com/FractionalGraphsAndFlowers/
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- http://functions.wolfram.com/
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- Numbers, constants and computation
- 매스매티카 파일 목록
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Midy's_theorem
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- The Online Encyclopaedia of Mathematics
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The World of Mathematical Equations
리뷰논문과 에세이
- A Curious String of Nines
- Hans Liebeck,
- The Mathematical Gazette, Vol. 85, No. 504 (Nov., 2001), pp. 431-438
관련논문
- Lewittes, Joseph. 2006. “Midy’s Theorem for Periodic Decimals”. math/0605182 (5월 7). http://arxiv.org/abs/math/0605182
- A. Gupta and B. Sury, Decimal expansion of 1/p and subgroup sums, Integers: Electronic Journal Of Combinatorial Number Theory 5 (2005),
- Brian D. Ginsberg Midy's (Nearly) Secret Theorem: An Extension after 165 Years, The College Mathematics Journal, Vol. 35, No. 1 (Jan., 2004), pp. 26-30
- M. Shrader-Frechette, Complementary Rational Numbers, Math. Mag., 51 (1978) 90–98.
- E. Midy, De quelques proprietes des nombres et des fractions decimals periodiques, Nantes, (1836), 21 pages.
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
- http://www.ams.org/mathscinet
- http://dx.doi.org/
- 1+8=4+5=2+7=9
- 142 + 857=999
- 428 + 571=999
- 285 + 714=999
- 857 + 142=999
- 571 + 248=999
- 712 + 485=999
- 14+28+57=99
- 42+85+71=198=2*99
\(1\leq i \leq n\) 에 대하여, \(a_{i} + a_{i+n}=9\) 이 성립한다.
또한 \(a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} = 99\cdots 99\)(n개의 9) 가 성립한다.
- 소수 p에 대하여, 분수 1/p 를 십진법 전개할 때 얻어지는 순환마디의 길이가 3n 이고, 순환마디가 \(a_1a_2\cdots a_{n} a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n}a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}\) 라 하자.
\(a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}= 99\cdots 99\) 가 성립한다
- 일반적으로 소수 p에 대하여, 분수 1/p 를 십진법 전개할 때 얻어지는 순환마디의 길이가 3n 이라고 하자.
분수 a/p (\(1\leq a \leq p-1\)) 또는 (p-a)/p (\(1\leq a \leq p-1\)) 의 순환소수전개를 생각하자.
둘 중의 하나는 \(a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}= 99\cdots 99\)
다른 하나는, \(a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}=2* 99\cdots 99\) 를 만족한다
예 : 052631578947368421
- p=19
- 1/19=0.052631578947368421052...
- 52631+578947+368421=999999
- 1/19=0.052631578947368421052...
- p=7
- 3/7 = 0.4285714286...
- 42+ 85+71=198
- 4/7 = 0.5714285714
- 57+14+28=99
- 3/7 = 0.4285714286...
역사
메모
관련된 항목들
수학용어번역==
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxYWNhZDQwN2MtNjMyMS00ZDc2LTgzZTQtMzFmMTQxYWFmZWM0&sort=name&layout=list&num=50
- http://demonstrations.wolfram.com/FractionalGraphsAndFlowers/
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- http://functions.wolfram.com/
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- Numbers, constants and computation
- 매스매티카 파일 목록
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Midy's_theorem
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- The Online Encyclopaedia of Mathematics
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The World of Mathematical Equations
리뷰논문과 에세이
- A Curious String of Nines
- Hans Liebeck,
- The Mathematical Gazette, Vol. 85, No. 504 (Nov., 2001), pp. 431-438
관련논문
- Lewittes, Joseph. 2006. “Midy’s Theorem for Periodic Decimals”. math/0605182 (5월 7). http://arxiv.org/abs/math/0605182
- A. Gupta and B. Sury, Decimal expansion of 1/p and subgroup sums, Integers: Electronic Journal Of Combinatorial Number Theory 5 (2005),
- Brian D. Ginsberg Midy's (Nearly) Secret Theorem: An Extension after 165 Years, The College Mathematics Journal, Vol. 35, No. 1 (Jan., 2004), pp. 26-30
- M. Shrader-Frechette, Complementary Rational Numbers, Math. Mag., 51 (1978) 90–98.
- E. Midy, De quelques proprietes des nombres et des fractions decimals periodiques, Nantes, (1836), 21 pages.
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
- http://www.ams.org/mathscinet
- http://dx.doi.org/
- Hans Liebeck,
- The Mathematical Gazette, Vol. 85, No. 504 (Nov., 2001), pp. 431-438