순환군

개요

• 하나의 원소로 생성될 수 있는 군을 순환군(cyclic group)이라 함. 즉 모든 원소가 한 원소의 적당한 정수제곱으로 표현가능한 경우를 말함.
  • <math>(\mathbb Z,+)</math> 의 경우는 1로 모든 원소를 생성가능하므로, 순환군임.
  • 2차원 평면의 정n각형에 대한 n개의 회전변환은 순환군임.
  • <math>z^n=1</math> 를 만족시키는 n개의 복소수들은 곱셈에 대하여 순환군이 됨
    • <math>\zeta=e^{2\pi i \over n}</math> 으로 생성가능.
  • <math>(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)</math> 는 순환군임
  • <math>(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math> 가 순환군이 되는 경우는 원시근(primitive root) 항목을 참조

순환군의 부분군

(정리) 순환군의 모든 부분군은 순환군이다.

(증명)

H 가 G의 부분군이라고 하자. a는 G의 생성원이라고 하자.

G의 원소는 <math>\cdots, a^{-1},a^{-1},a^{0}, a^1,a^2,\cdots</math>

따라서 각각의 원소에 이 지수를 정의할 수 있다. (<math>\log_a g</math> 로 생각할 수 있음)

항등원을 제외한 H의 원소중에서 이 지수의 값이 양수이며, 가장 작은 원소가 존재한다. 이 값을 <math>d</math> 로 두자.

H의 원소 <math>a^k</math> 에 대하여, <math>k=dq+r, 0\leq r < d</math> 를 사용하면, <math>a^k=a^{dq}a^r=(a^d)^q a^r</math> 형태로 쓸 수 있다.

H는 부분군이므로, <math>a^r=(a^d)^{-q}a^k</math> 는 H의 원소이다. <math>d</math>의 정의에 따라, <math>r</math> 은 0이어야 한다.

그러므로, 모든 H의 원소는 <math>a^d</math> 로 생성가능하다. ■

메모

• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

관련된 항목들

• 유한생성 아벨군의 기본정리
• 순환군과 유한아벨군의 표현론

사전형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/순환군
• http://en.wikipedia.org/wiki/Cyclic_groups
• http://viswiki.com/en/Cyclic_groups

메타데이터

위키데이터

• ID : Q245462

Spacy 패턴 목록

• [{'LOWER': 'cyclic'}, {'LEMMA': 'group'}]
• [{'LEMMA': 'ℤ/nℤ'}]
• [{'LEMMA': 'ℤn'}]
• [{'LOWER': 'monogenous'}, {'LEMMA': 'group'}]