"복소수"의 두 판 사이의 차이

수학노트
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* <math>i^2=-1</math>
 
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* 복소수를 계수로 가지는 <math>n</math>차방정식은 <math>n</math>개의 복소수근(만)을 가진다.
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* 복소수를 계수로 가지는 <math>n</math>차방정식은 <math>n</math>개의 복소수근(만)을 가진다 : 대수학의 기본 정리.
 
* <math>z_1 = r_1(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1)</math>, <math>z_2 = r_2(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)</math>이면
 
* <math>z_1 = r_1(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1)</math>, <math>z_2 = r_2(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)</math>이면
  
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* 복소평면 : 평면ㅇ
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* 복소평면 : 평면 위의 점과 복소수는 1-1 대응시킬 수 있다. (실수와 수직선 사이에 1-1 대응이 가능하듯이)
  
 
<h5>재미있는 문제</h5>
 
<h5>재미있는 문제</h5>

2008년 10월 20일 (월) 23:00 판

간단한 요약
  • (고등학교 과정 내에서는) 수 체계의 완성.
  • 3차방정식의 해법으로, 그리고 타르탈리아와의 일로도 유명한 카르다노의 'Ars Magna' 의 3차 방정식의 풀이 중, 음수의 제곱근을 (형식적으로) 의미 없는 근으로 여기지 않은 부분이 있다.
배우기 전에 알고 있어야 하는 것들
  • (10 - 가 의 복소수 단원을 위해서) 딱히 없음.
  • (현재는 교육과정에서 빠져 있는 복소수의 극형식에 대해 배우려면) 삼각함수의 덧셈정리
중요한 개념 및 정리
  • \(i^2=-1\)
  • 복소수를 계수로 가지는 \(n\)차방정식은 \(n\)개의 복소수근(만)을 가진다 : 대수학의 기본 정리.
  • \(z_1 = r_1(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1)\), \(z_2 = r_2(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)\)이면

\( z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}\big(\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2) \big)\)

  • (드 무아브르 정리) \( (\cos \theta + i \sin \theta)^n=\cos n\theta + i \sin n\theta\)

 

  • 복소수는 삼각함수와 지수함수 사이의 교량과도 같다.
    • Euler's Formula \[ e^{i \theta}=\cos\theta + i\sin\theta\]

 

  • 복소평면 : 평면 위의 점과 복소수는 1-1 대응시킬 수 있다. (실수와 수직선 사이에 1-1 대응이 가능하듯이)
재미있는 문제
  • \( e^{i\pi}+1 =0\)
  • \( i^i = e^{-\frac{\pi}{2}}\) (실수)

 

관련된 개념 및 나중에 더 배우게 되는 것들
  • 이차방정식 \( ax^2 + bx + c =0\)의 근\[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\](근의 공식), 특별히 \(b^2 -4ac <0\) 인 경우 두 복소근을 가진다.
  • 선형변환, 특히 회전변환.

\(\left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right)^2 = -\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)\) 에서 \( i \leftrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right)\), \( \cos \theta + i\sin\theta \leftrightarrow \left( \begin{array}{ccc} \cos \theta & -\sin\theta \\ \sin \theta & cos \theta \\ \end{array} \right)\) : 회전변환.

 

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