복소수

개요

• (고등학교 과정 내에서는) 수 체계의 완성.
• 3차방정식의 해법으로, 그리고 타르탈리아와의 일로도 유명한 카르다노의 'Ars Magna' 의 3차 방정식의 풀이 중, 음수의 제곱근을 (형식적으로) 의미 없는 근으로 여기지 않은 부분이 있다. 그 결과로 실수해가 얻어지는 것을 보고 카르다노는 많이 당황하였다.

배우기 전에 알고 있어야 하는 것들

• (10 - 가 의 복소수 단원을 위해서) 딱히 없음.
• 삼각함수의 덧셈정리
  • 현재는 교육과정에서 빠져 있는 복소수의 극형식을 공부하기 위해서 필요

중요한 개념 및 정리

• \(i^2=-1\)
• 대수학의 기본정리 복소수를 계수로 가지는 \(n\)차방정식은 \(n\)개의 복소수근(만)을 가진다
• 복소수의 극형식 \[z = r(\cos \theta + i \sin \theta)\], \(r>0,\theta\in \mathbb{R}\)
• 극형식과 복소수의 곱셈 두 복소수\(z_1 = r_1(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1)\), \(z_2 = r_2(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)\)이면 \[ z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}\big(\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2) \big).\]

• 드 무아브르 정리

\[(\cos \theta + i \sin \theta)^n=\cos n\theta + i \sin n\theta\]

• 복소수는 삼각함수와 지수함수 사이의 교량과도 같다
  • 오일러의 공식 \[ e^{i \theta}=\cos\theta + i\sin\theta\] (복소수승의 정의(definition))
  • 오일러의 공식 \(e^{iπ}+1=0\) 항목 참조
• 복소평면 : 복소수와 평면 위의 점은 1-1 대응시킬 수 있다. (실수와 수직선 사이에 1-1 대응이 가능하듯이)
  • \(|z_1 z_2 | = |z_1 ||z_2 |\), \(\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)\)

켤레복소수

• 복소수 \(z=x+i y\) (\(x,y\)는 실수)에 대하여 켤레복소수 \(\bar{z}\)는 \(\bar{z}=x-iy\)로 정의된다
• 켤레복소수 항목 참조

재미있는 문제

• \( e^{i\pi}+1 =0\)
• \( i^i = e^{-\frac{\pi}{2}}\), and... (실수) i^i 는 무엇일까?

관련된 개념 및 나중에 더 배우게 되는 것들

• 이차방정식 \( ax^2 + bx + c =0\)의 근\[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\](근의 공식), 특별히 \(b^2 -4ac <0\) 인 경우 두 복소근을 가짐.
• 하나의 복소수가 실계수 방정식의 근이라면 그 켤레복소수도 역시 근이 됨.
• 길이가 1인 복소수의 곱셈은 2차원 평면 상에서, 회전변환으로 이해할 수 있음.

\(\left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right)^2 = -\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)\) 에서 \( i \leftrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right)\)

\( \cos \theta + i\sin\theta \leftrightarrow \left( \begin{array}{ccc} \cos \theta & -\sin\theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{array} \right)\) :

• 2차원 회전 변환 항목 참조

관련된 대학교 수학

• 복소함수론
  • 고등학교에서 배우는 함수들은 정의역과 공역이 실수집합 또는 실수의 부분집합임.
  • 정의역과 공역을 복소수로 가지는 함수들을 배움.
  • 수학적으로 매우 풍부하고, 아름다운 결과들이 많아 공부할 가치가 많이 있음.
• 추상대수학
  • 복소수는 체의 구조를 가지고 있음.
  • 1차원은 실수, 2차원은 복소수, 그러면 3차원에는 ?
  • 4차원에는 복소수의 확장이라 할 수 있는 해밀턴의 사원수가 있음.
• 대수학의 기본정리

메모

• A Short History of Complex Numbers
• The Historical Development of Complex Numbers
  • D. R. Green, The Mathematical Gazette, Vol. 60, No. 412 (Jun., 1976), pp. 99-107
• Dimensions
  • 아름다운 장면이 많은 수학 동영상
  • chapter 5,6는 복소수에 대한 내용을 담고 있음.

관련된 항목들

• 쌍곡수
• 해밀턴의 사원수(quarternions)