복소수

수학노트
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개요

  • (고등학교 과정 내에서는) 수 체계의 완성.
  • 3차방정식의 해법으로, 그리고 타르탈리아와의 일로도 유명한 카르다노의 'Ars Magna' 의 3차 방정식의 풀이 중, 음수의 제곱근을 (형식적으로) 의미 없는 근으로 여기지 않은 부분이 있다. 그 결과로 실수해가 얻어지는 것을 보고 카르다노는 많이 당황하였다.



배우기 전에 알고 있어야 하는 것들

  • (10 - 가 의 복소수 단원을 위해서) 딱히 없음.
  • 삼각함수의 덧셈정리
    • 현재는 교육과정에서 빠져 있는 복소수의 극형식을 공부하기 위해서 필요



중요한 개념 및 정리

  • \(i^2=-1\)
  • 대수학의 기본정리 복소수를 계수로 가지는 \(n\)차방정식은 \(n\)개의 복소수근(만)을 가진다
  • 복소수의 극형식 \[z = r(\cos \theta + i \sin \theta)\], \(r>0,\theta\in \mathbb{R}\)
  • 극형식과 복소수의 곱셈 두 복소수\(z_1 = r_1(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1)\), \(z_2 = r_2(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)\)이면 \[ z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}\big(\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2) \big).\]

\[(\cos \theta + i \sin \theta)^n=\cos n\theta + i \sin n\theta\]

  • 복소수는 삼각함수와 지수함수 사이의 교량과도 같다
  • 복소평면 : 복소수와 평면 위의 점은 1-1 대응시킬 수 있다. (실수와 수직선 사이에 1-1 대응이 가능하듯이)
    • \(|z_1 z_2 | = |z_1 ||z_2 |\), \(\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)\)


켤레복소수

  • 복소수 $z=x+i y$ ($x,y$는 실수)에 대하여 켤레복소수 $\bar{z}$는 $\bar{z}=x-iy$로 정의된다
  • 켤레복소수 항목 참조

재미있는 문제


관련된 개념 및 나중에 더 배우게 되는 것들

  • 이차방정식 \( ax^2 + bx + c =0\)의 근\[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\](근의 공식), 특별히 \(b^2 -4ac <0\) 인 경우 두 복소근을 가짐.
  • 하나의 복소수가 실계수 방정식의 근이라면 그 켤레복소수도 역시 근이 됨.
  • 길이가 1인 복소수의 곱셈은 2차원 평면 상에서, 회전변환으로 이해할 수 있음.

\(\left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right)^2 = -\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)\) 에서 \( i \leftrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right)\)

\( \cos \theta + i\sin\theta \leftrightarrow \left( \begin{array}{ccc} \cos \theta & -\sin\theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{array} \right)\) :


관련된 대학교 수학

  • 복소함수론
    • 고등학교에서 배우는 함수들은 정의역과 공역이 실수집합 또는 실수의 부분집합임.
    • 정의역과 공역을 복소수로 가지는 함수들을 배움.
    • 수학적으로 매우 풍부하고, 아름다운 결과들이 많아 공부할 가치가 많이 있음.
  • 추상대수학
    • 복소수는 체의 구조를 가지고 있음.
    • 1차원은 실수, 2차원은 복소수, 그러면 3차원에는 ?
    • 4차원에는 복소수의 확장이라 할 수 있는 해밀턴의 사원수가 있음.
  • 대수학의 기본정리



메모

관련된 항목들