복소함수론

개요

• 복소함수의 미적분학과 기하학적 성질을 공부함.
• 일변수미적분학은 본래 복소함수론의 세팅에서 배우는 것이 자연스럽고 바람직함.
• 학부수학에서 가장 중요한 과목이며 고등수학으로 나아가는 토대.
• 리만곡면론의 공부를 목표로 삼으면 좋음.

선수 과목 또는 알고 있으면 좋은 것들

• 일변수미적분학
• 기초적인 다변수미적분학
  • 편미분
  • 자코비안
  • 선적분
  • 그린정리
• 2차원 회전변환
• 평면기하학의 반전 사상(inversion)

다루는 대상

• 복소평면의 도메인, 리만구
• 복소함수
  • 뫼비우스 변환
  • 초월함수

중요한 개념 및 정리

• 멱급수
• 코쉬 정리
• 유수 정리
• 해석적 연속
• 다가함수
• 리만 곡면

유명한 정리 혹은 생각할만한 문제

• 다가함수는 함수인가?
  • 복소로그함수
• 대수학의 기본정리
• 리만제타함수

다른 과목과의 관련성

• 미분기하학
  • 단순연결된 상수곡률곡면과 Uniformization 정리
• 대수적 위상수학
  • 호모토피
  • 모노드로미
  • covering space
• 추상대수학
  • discontinous groups
    • 뫼비우스변환
    • 아래의 '더 공부하면 좋은 것들' 항목 참조

관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들

• Special functions
• 타원적분과 타원함수론
• Modular functions, modular forms and Fuchsian automorphic functions
• 대수적 함수와 아벨적분
• 리만곡면론
• 대수곡선론
• Discontinous groups
  • Fuchsian groups, 클라인군(Kleinian groups), 쇼트키군(Schottky groups)
• Teichmüller theory

표준적인 교과서

• Complex Analysis
  • Lars Ahlfors, 3rd edition, McGraw-Hill, 1979

관련도서 및 보조교재

• Gareth A. Jones and David Singerman, Complex Functions: An Algebraic and Geometric Viewpoint

관련논문

• Gundersen, Gary G. “Questions on Meromorphic Functions and Complex Differential Equations.” arXiv:1509.02225 [math], September 7, 2015. http://arxiv.org/abs/1509.02225.
• Simonič, Aleksander. “The Ahlfors Lemma and Picard’s Theorems.” arXiv:1506.07019 [math], June 22, 2015. http://arxiv.org/abs/1506.07019.
• Redheffer, Raymond. “The Homotopy Theorems of Function Theory.” The American Mathematical Monthly 76, no. 7 (August 1, 1969): 778–87. doi:10.2307/2317866.