대수적 위상수학

개요

오일러의 정리
- V-E+F = 2- 2g
곡면의 분류 정리
- 컴팩트 곡면
  - 종수와 orientability
- 경계가 있는 곡면
  - 종수,orientability, 경계의 개수
호모토피
- 공간 사이에 주어진 하나의 연속함수를 '연속적으로 변화'시켜 다른 연속함수를 얻을 수 있을 때, 두 연속함수는 호모토픽하다고 말함.
  - 공간에 있는 하나의 루프를 연속적으로 변화시켜 점으로 만들 수 있다면, 호모토피의 관점에서 루프는 점과 같다고 말할 수 있음.
- 이 '연속적인 변화'를 호모토피라 부름.

fundamental group
- 구면의 경우 모든 루프는 한 점과 호모토픽.
- 도넛의 경우는 구면의 경우와는 달리, 점으로 만들수 없는 루프가 존재.
- 호모토픽한 루프들을 모아서 호모토픽 클래스라고 부름.
- 호모토픽 클래스들 사이에 연산을 주어, 군을 만들수 있음.
- 이 군은 공간에 놓여진 루프들의 호모토피 클래스에 대한 정보를 담고 있음.
- 위상적 공간의 정보를 담고 있는 대수적인 물건.
단일연결된 공간(simply connected space)
- 모든 루프가 점과 호모토픽한 경우, 그 공간은 단일연결되었다고 함.
  - 구면은 단일연결되어있음.
  - 도넛은 단일연결되어있지 않음.
- 포앵카레의 추측
덮개 공간 (covering space)
보편 덮개 (universal covering)
Hairy ball theorem
호몰로지

\(\langle a_1,b_1, a_2, b_2, \cdots a_g, b_g \mid a_1 b_1 a_1^{-1} b_1^{-1}a_2 b_2 a_2^{-1} b_2^{-1}\cdots a_g b_g a_g^{-1} b_g^{-1}=1 \rangle\,\!\)

López, Rafael. “How Does a Topologist Classify the Letters of the Alphabet?” arXiv:1410.3364 [math], October 9, 2014. http://arxiv.org/abs/1410.3364.
Peter Hilton, A Brief, Subjective History of Homology and Homotopy Theory in This Century, Mathematics Magazine, Vol. 61, No. 5 (Dec., 1988), pp. 282-291

Having constructed a wiring diagram in this way, Sizemore and co applied the techniques of algebraic topology to study its structure.^[1]
The most important classes of objects whose properties are studied in algebraic topology include complexes (polyhedra, cf.^[2]
A major role in algebraic topology is played by special invariants connected with various algebraic structures over the fundamental group.^[2]
This is another type of problem dealt with by algebraic topology.^[2]
They were used to improve the calculation methods of algebraic topology.^[2]
This book is written as a textbook on algebraic topology.^[3]
In mathematics, homotopy groups are used in algebraic topology to classify topological spaces.^[4]
You should read something about the basics of algebraic topology ( topological spaces, fundamental group, covering spaces).^[5]
The discipline of algebraic topology is popularly known as "rubber-sheet geometry" and can also be viewed as the study of disconnectivities.^[6]