푸앵카레의 추측

수학노트

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개요

푸앵카레의 추측 단일연결된 컴팩트 3차원 다양체는 3차원 구와 위상적으로 같다

단일연결된 공간

단일연결된 공간(simply connected space)
- 공간에 놓인 모든 닫힌 곡선을 연속적으로 변화시켜 점으로 만들 수 있는 경우, 그 공간은 단일연결되었다고 함.
2차원 구면은 단일연결되어있음.
도넛은 단일연결되어있지 않음.

2차원 구면의 단일연결성

구면에 놓인 닫힌 곡선을 연속적으로 변화시켜 점으로 만들 수 있음

도넛의 단일연결성

도넛의 경우, 닫힌 곡선을 점으로 변화시킬 수 없는 경우가 존재하므로 단일연결되어 있지 않다

다양체(manifold)

1차원 다양체 = 곡선
- 원, 직선, ...
2차원 다양체 = 곡면
- 평면, 구면, 도넛,
n-차원 다양체 : 곡선과 곡면의 n차원 일반화
- 국소적으로 n-차원 유클리드 공간과 같은 공간을 n-차원 다양체라 한다

위상적으로 같음

homeomorphic, homeomorphism
도넛과 커피잔의 관계처럼 연속적인 변화를 통해 두 위상적 공간을 같도록 만들 수 있다면, 위상적으로 같다고 말한다

역사

수학사 연표
1904 푸앵카레의 추측
1982 써스톤 geometrization 추측
1982 리차드 해밀턴
2006 그리고리 페렐만

메모

관련된 항목들

수학용어번역

사전 형태의 자료

리뷰논문, 에세이, 강의노트

Curtis T. McMullen, The evolution of geometric structures on 3-manifolds Bull. Amer. Math. Soc. 48 (2011), 259-274.
Tao, Terence. 2006. “Perelman’s proof of the Poincar’e conjecture: a nonlinear PDE perspective”. math/0610903 (10월 29). http://arxiv.org/abs/math/0610903.
Shing-Tung Yau, Structure of Three-Manifolds– Poincar´e and geometrization conjectures 2006

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ID : Q912058

Spacy 패턴 목록

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