복소수

간단한 요약

• (고등학교 과정 내에서는) 수 체계의 완성.
• 3차방정식의 해법으로, 그리고 타르탈리아와의 일로도 유명한 카르다노의 'Ars Magna' 의 3차 방정식의 풀이 중, 음수의 제곱근을 (형식적으로) 의미 없는 근으로 여기지 않은 부분이 있다.

배우기 전에 알고 있어야 하는 것들

• (10 - 가 의 복소수 단원을 위해서) 딱히 없음.
• (현재는 교육과정에서 빠져 있는 복소수의 극형식에 대해 배우려면) 삼각함수의 덧셈정리

중요한 개념 및 정리

• \(i^2=-1\)
• 복소수를 계수로 가지는 \(n\)차방정식은 \(n\)개의 복소수근(만)을 가진다 : 대수학의 기본 정리.
• \(z_1 = r_1(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1)\), \(z_2 = r_2(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)\)이면

\( z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}\big(\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2) \big)\). \(\big(r_1, \quad r_2\) 는 실수\(\big)\)

• (드 무아브르 정리) \( (\cos \theta + i \sin \theta)^n=\cos n\theta + i \sin n\theta\)

 

• 복소수는 삼각함수와 지수함수 사이의 교량과도 같다. (지금은 몰라도 좋음)
  
  • Euler's Formula \[ e^{i \theta}=\cos\theta + i\sin\theta\] (복소수승의 정의(definition))

 

• 복소평면 : 평면 위의 점과 복소수는 1-1 대응시킬 수 있다. (실수와 수직선 사이에 1-1 대응이 가능하듯이)

재미있는 문제

• \( e^{i\pi}+1 =0\)
• \( i^i = e^{-\frac{\pi}{2}}\), and... (실수)

 

관련된 개념 및 나중에 더 배우게 되는 것들

• 이차방정식 \( ax^2 + bx + c =0\)의 근\[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\](근의 공식), 특별히 \(b^2 -4ac <0\) 인 경우 두 복소근을 가진다.
• 선형변환, 특히 회전변환.

\(\left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right)^2 = -\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)\) 에서 \( i \leftrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right)\), \( \cos \theta + i\sin\theta \leftrightarrow \left( \begin{array}{ccc} \cos \theta & -\sin\theta \\ \sin \theta & cos \theta \\ \end{array} \right)\) : 회전변환.

 

 

 

 

 

참고할만한 도서 및 자료

 

 

• The Historical Development of Complex Numbers
  
  • D. R. Green
  • The Mathematical Gazette, Vol. 60, No. 412 (Jun., 1976), pp. 99-107