"볼록다면체에 대한 데카르트 정리"의 두 판 사이의 차이

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2009년 4월 5일 (일) 07:49 판

간단한 소개
  • 다각형의 모양에 상관없이 그 외각의 합은 \(2\pi\).

    위의 그림에서 a,b,c,d,e가 각 점의 외각의 크기.
    이를 다 합하면 \(2\pi\)가 됨.
  • 다면체에 대해서도 비슷한 정리가 성립하며, 이를 다면체에 대한 데카르트 정리라고 부름
  • 다면체의 한 점에서의 외각
    • 정의 \[2\pi\] - (한 점에 모여있는 다각형들의 그 점에서의 각의 합)
    • 다음 표를 통해, 그 예를 볼 수 있음.
다면체 그림 점 V 선 E 면 F V-E+F 한점에서의 외각 A 외각의 총합 V × A
정사면체 [[|Tetrahedron]] 4 6 4 4-6+4=2 \(2\pi-3\times\frac{\pi}{3}=\pi\) \(4\times\pi=4\pi\)
정육면체 [[|Hexahedron (cube)]] 8 12 6 8-12+6=2 \(2\pi-3\times\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}\) \(8\times\frac{\pi}{2}=4\pi\)
정팔면체 [[|Octahedron]] 6 12 8 6-12+8=2 \(2\pi-4\times\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\) \(6\times\frac{2\pi}{3}=4\pi\)
정십이면체 [[|Dodecahedron]] 20 30 12 20-30+12=2 \(2\pi-3\times\frac{3\pi}{5}=\frac{\pi}{5}\) \(20\times\frac{\pi}{5}=4\pi\)
정이십면체 [[|Icosahedron]] 12 30 20 12-30+20=2 \(2\pi-5\times\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}\) \(12\times\frac{\pi}{3}=4\pi\)
  • 데카르트의 정리는 다면체의 각 점에서의 외각의 총합이 \(4\pi\) 라는 것.
  • 증명

다면체의 점, 선, 면의 개수를 각각 V,E,F 라고 하자.

 

각 점에서의 외각의 총합



이제,  를 다면체에 있는 k-각형의 개수라 하자.

k각형의 내각의 합은 이므로, 위의 식은 다음과 같아진다.

 



여기서 가 성립하는데, 이는 각 변이 두번씩 세어지기 때문이다. 따라서 위의 식은

  


(오일러의 정리가 사용되었음)

 

하위주제들

 

 

 

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재미있는 사실
  • 정십이면체의 점의 개수를 세는 경우의 응용.


점의 개수를 세지말고, 한 점에 정오각형이 세 개 모여있다는 것을 확인

정오각형의 한 점의 내각의 크기가 \(\frac{3\pi}{5}\)

한 점에서의 외각이 \(\frac{\pi}{5}\) 가 된다는 것을 알수 있음.

데카르트의 정리에 의해  \(4\pi\) 를 이 숫자로 나누면 점의 개수 20을 얻게 됨.

 

  • 데카르트의 정리는 위상적인 성질을 반영하는 것이기 때문에, 사실은 꼭 정다면체뿐만이 아니라, 축구공과 같은 일반적인 (볼록)다면체에서도 성립함.
  • 축구공의 점의 개수를 세는 데 응용

모든 점이 똑같이 생겼다는 사실을 확인.

한 점에는 정오각형 하나, 정육각형 두개가 만나고 있다는 사실을 재빠르게 간파한 다음,

정오각형 한점 내각 = 108도, 정육각형 한점 내각 = 120도

따라서 축구공 한 점에서의 외각 크기 = 360도 -108도 -120도 -120도 = 12도

데카르트 정리를 이용하여 \(4\pi \div 12\)도 \( = 720 \div 12 = 60\)

그러므로 축구공에는 점이 60개 있음.

 

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