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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 수학노트 원문주소</h5>
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==개요==
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<h5>개요</h5>
 
  
 
*  사인-고든 방정식<br><math>u_{tt}-u_{xx}+\sin u=0</math><br>
 
*  사인-고든 방정식<br><math>u_{tt}-u_{xx}+\sin u=0</math><br>
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** breather
 
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<h5>오일러-라그랑지 방정식</h5>
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==오일러-라그랑지 방정식==
  
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*  라그랑지안 <math>\mathcal{L}_\text{SG}(\psi) = \frac{1}{2}(\psi_t^2 - \psi_x^2) -1 + \cos\psi</math>  에 대하여 [[오일러-라그랑지 방정식]]<br><math>\partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\mu \psi )} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi} = 0</math>   을 적용하여 얻어진다<br>
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*  라그랑지안 <math>\mathcal{L}_\text{SG}(\psi) = \frac{1}{2}(\psi_t^2 - \psi_x^2) -1 + \cos\psi</math> 에 대하여 [[오일러-라그랑지 방정식]]<br><math>\partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\mu \psi )} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi} = 0</math>   을 적용하여 얻어진다<br>
  
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<h5>빛원뿔(light cone) 좌표계</h5>
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==빛원뿔(light cone) 좌표계==
  
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*  변수 <math>\xi=\frac{t+x}{2}</math>, <math>\eta=\frac{-t+x}{2}</math>  를 도입하면, 사인-고든 방정식은<br><math>u_{\xi\eta}=\sin u</math> 로 쓰여진다<br>
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*  변수 <math>\xi=\frac{t+x}{2}</math>, <math>\eta=\frac{-t+x}{2}</math> 를 도입하면, 사인-고든 방정식은<br><math>u_{\xi\eta}=\sin u</math> 로 쓰여진다<br>
  
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<h5>Bäcklund 변환</h5>
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==Bäcklund 변환==
  
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*  함수 u가 사인-고든 방정식 <math>u_{\xi\eta}=\sin u</math>의 해라 하고, 다른 함수 v와 임의의 수 a 에 대하여 다음 방정식이 성립한다고 하자<br><math>\begin{align}v_{\xi} & = u_{\xi} + 2a \sin \Bigl( \frac{u+v}{2} \Bigr) \\v_{\eta} & = -u_{\eta} + \frac{2}{a} \sin \Bigl( \frac{v-u}{2} \Bigr)\end{align} \,\!</math><br>
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*  함수 u가 사인-고든 방정식 <math>u_{\xi\eta}=\sin u</math>의 해라 하고, 다른 함수 v와 임의의 수 a 에 대하여 다음 방정식이 성립한다고 하자<br><math>\begin{align}v_{\xi} & = u_{\xi} + 2a \sin \Bigl( \frac{u+v}{2} \Bigr) \\ v_{\eta} & = -u_{\eta} + \frac{2}{a} \sin \Bigl( \frac{v-u}{2} \Bigr)\end{align} \,\!</math><br>
 
* 함수 v도 사인-고든 방정식의 해가 된다
 
* 함수 v도 사인-고든 방정식의 해가 된다
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*  해 u=0 에 이 변환을 적용하면, <math>v(\xi ,\eta )=4 \arctan\left(\exp \left(\frac{\eta }{a}+a \xi \right)\right)</math> 를 얻을 수 있다<br><math>a=\frac{\sqrt{1-v}}{\sqrt{1+v}}</math> 로 두면, <math>4\arctan [\exp [\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]</math><br>
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*  해 u=0 에 이 변환을 적용하면, <math>v(\xi ,\eta )=4 \arctan\left(\exp \left(\frac{\eta }{a}+a \xi \right)\right)</math> 를 얻을 수 있다<br><math>a=\frac{\sqrt{1-v}}{\sqrt{1+v}}</math> 로 두면, <math>4\arctan [\exp [\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]</math><br>
  
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<h5>traveling wave solution</h5>
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==traveling wave solution==
  
 
* <math>u_{tt}-u_{xx}+\sin u=0</math>
 
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* u 가 사인-고든 방정식의 해가 되려면, f 는 <math>v^2f''-f''+\sin f=0</math> 를 만족시켜야 한다.
 
* u 가 사인-고든 방정식의 해가 되려면, f 는 <math>v^2f''-f''+\sin f=0</math> 를 만족시켜야 한다.
 
*  적분하면 다음을 얻는다.<br><math>\frac{1}{2}(c^2-1)(f')^2-\cos f=a</math><br>
 
*  적분하면 다음을 얻는다.<br><math>\frac{1}{2}(c^2-1)(f')^2-\cos f=a</math><br>
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* <math>z\to \infty</math> 일 때, <math> f(z)\to 0</math> 와  <math>f'(z) \to 0</math> 인 조건을 만족한다면, a=-1이 된다. 이 경우 다음 미분방정식을 풀면 된다<br><math>(f')^2=\frac{4}{1-v^2}\sin^2(f/2)</math><br>
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* <math>z\to \infty</math> 일 때, <math> f (z)\to 0</math> 와  <math>f'(z) \to 0</math> 인 조건을 만족한다면, a=-1이 된다. 이 경우 다음 미분방정식을 풀면 된다<br><math>(f')^2=\frac{4}{1-v^2}\sin^2(f/2)</math><br>
 
*  이 상미분방정식의 해는<br><math>u(x,t)=4\arctan [\exp [\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]</math><br>
 
*  이 상미분방정식의 해는<br><math>u(x,t)=4\arctan [\exp [\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]</math><br>
  
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<h5>솔리톤 해의 예</h5>
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==솔리톤 해의 예==
  
 
*  kink (soliton)<br><math>u(x,t)=4\arctan [\exp [\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]</math><br>
 
*  kink (soliton)<br><math>u(x,t)=4\arctan [\exp [\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]</math><br>
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*  kink-antikink (particle-antiparticle) collison '''[PS1962]'''<br><math>u(x,t)=4\arctan [\frac{\sinh \frac{vt}{\sqrt{1-v^2}}}{v\cosh \frac{x}{\sqrt{1-v^2}}}]</math><br>
 
*  kink-antikink (particle-antiparticle) collison '''[PS1962]'''<br><math>u(x,t)=4\arctan [\frac{\sinh \frac{vt}{\sqrt{1-v^2}}}{v\cosh \frac{x}{\sqrt{1-v^2}}}]</math><br>
  
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*  Breather = coupled kink-antikink<br><math>4 \arctan \left(\frac{\sqrt{1-\omega ^2} \sin (t \omega )}{\omega  \cosh \left(x \sqrt{1-\omega ^2}\right)}\right)</math><br><math>\omega=1/{\sqrt{2}}</math> 인 경우<br><math>4 \arctan \left(\sin \left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right) \text{sech}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right)</math><br>
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*  Breather = coupled kink-antikink<br><math>4 \arctan \left(\frac{\sqrt{1-\omega ^2} \sin (t \omega )}{\omega  \cosh \left(x \sqrt{1-\omega ^2}\right)}\right)</math><br><math>\omega=1/{\sqrt{2}}</math> 인 경우<br><math>4 \arctan \left(\sin \left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right) \text{sech}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right)</math><br>
  
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<h5>히로타 bilinear method</h5>
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==히로타 bilinear method==
  
 
<math>u(x,t)=4\arctan [\frac{F(x)}{G(t)}]</math>
 
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<h5>역사</h5>
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==역사==
  
 
 
 
 

2012년 9월 30일 (일) 11:01 판

개요

  • 사인-고든 방정식
    \(u_{tt}-u_{xx}+\sin u=0\)
  • 양자장론에 등장하는 클라인-고든 방정식에서 이름이 붙음
    \((\Box + m^2) \psi =\psi_{tt}-\psi_{xx}+m^2\psi=0\)
  • 다음과 같은 솔리톤 해들을 가짐
    • kink, antikink
    • kink-kink
    • kink-antikink
    • breather



오일러-라그랑지 방정식

  • 라그랑지안 \(\mathcal{L}_\text{SG}(\psi) = \frac{1}{2}(\psi_t^2 - \psi_x^2) -1 + \cos\psi\) 에 대하여 오일러-라그랑지 방정식
    \(\partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\mu \psi )} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi} = 0\) 을 적용하여 얻어진다



빛원뿔(light cone) 좌표계

  • 변수 \(\xi=\frac{t+x}{2}\), \(\eta=\frac{-t+x}{2}\) 를 도입하면, 사인-고든 방정식은
    \(u_{\xi\eta}=\sin u\) 로 쓰여진다



Bäcklund 변환

  • 함수 u가 사인-고든 방정식 \(u_{\xi\eta}=\sin u\)의 해라 하고, 다른 함수 v와 임의의 수 a 에 대하여 다음 방정식이 성립한다고 하자
    \(\begin{align}v_{\xi} & = u_{\xi} + 2a \sin \Bigl( \frac{u+v}{2} \Bigr) \\ v_{\eta} & = -u_{\eta} + \frac{2}{a} \sin \Bigl( \frac{v-u}{2} \Bigr)\end{align} \,\!\)
  • 함수 v도 사인-고든 방정식의 해가 된다
  • 해 u=0 에 이 변환을 적용하면, \(v(\xi ,\eta )=4 \arctan\left(\exp \left(\frac{\eta }{a}+a \xi \right)\right)\) 를 얻을 수 있다
    \(a=\frac{\sqrt{1-v}}{\sqrt{1+v}}\) 로 두면, \(4\arctan [\exp [\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]\)



traveling wave solution

  • \(u_{tt}-u_{xx}+\sin u=0\)
  • \(u(x,t)=f(x-vt)\) 라 두자.
  • u 가 사인-고든 방정식의 해가 되려면, f 는 \(v^2f''-f''+\sin f=0\) 를 만족시켜야 한다.
  • 적분하면 다음을 얻는다.
    \(\frac{1}{2}(c^2-1)(f')^2-\cos f=a\)
  • \(z\to \infty\) 일 때, \( f (z)\to 0\) 와 \(f'(z) \to 0\) 인 조건을 만족한다면, a=-1이 된다. 이 경우 다음 미분방정식을 풀면 된다
    \((f')^2=\frac{4}{1-v^2}\sin^2(f/2)\)
  • 이 상미분방정식의 해는
    \(u(x,t)=4\arctan [\exp [\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]\)



솔리톤 해의 예

  • kink (soliton)
    \(u(x,t)=4\arctan [\exp [\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]\)
  • antikink (anti-soliton)
    \(u(x,t)=4\arctan [\exp -[\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]\)
  • kink-kink collison [PS1962]
    \(u(x,t)=4\arctan [\frac{v\sinh \frac{x}{\sqrt{1-v^2}}}{\cosh \frac{vt}{\sqrt{1-v^2}}}]\)
  • kink-antikink (particle-antiparticle) collison [PS1962]
    \(u(x,t)=4\arctan [\frac{\sinh \frac{vt}{\sqrt{1-v^2}}}{v\cosh \frac{x}{\sqrt{1-v^2}}}]\)
  • Breather = coupled kink-antikink
    \(4 \arctan \left(\frac{\sqrt{1-\omega ^2} \sin (t \omega )}{\omega \cosh \left(x \sqrt{1-\omega ^2}\right)}\right)\)
    \(\omega=1/{\sqrt{2}}\) 인 경우
    \(4 \arctan \left(\sin \left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right) \text{sech}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right)\)



히로타 bilinear method

\(u(x,t)=4\arctan [\frac{F(x)}{G(t)}]\)

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

관련된 항목들

 

 

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수학용어번역

 

 

 

사전 형태의 자료

 

 

리뷰논문, 에세이, 강의노트

 

 

관련논문
  • Classical and quantum kink scattering http://dx.doi.org/10.1016/0550-3213(93)90243-I
  • Hirota, Ryogo. 1977. “Nonlinear Partial Difference Equations III; Discrete Sine-Gordon Equation”. Journal of the Physical Society of Japan 43: 2079-2086. doi:10.1143/JPSJ.43.2079
  • Hirota, Ryogo. 1972. “Exact Solution of the Sine-Gordon Equation for Multiple Collisions of Solitons”. Journal of the Physical Society of Japan 33: 1459-1463. doi:10.1143/JPSJ.33.1459
  • [PS1962]A model unified field equation J. K. Perring and T. H. R. Skyrme, Nuclear Physics Volume 31, March-April 1962, Pages 550-555

 

 

관련도서
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