사인-고든 방정식

수학노트
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개요

  • 다음 미분방정식을 사인-고든 방정식이라 함 \[u_{tt}-u_{xx}+\sin u=0 \tag{1}\]
  • 양자장론에 등장하는 클라인-고든 방정식에서 이름이 붙음\[(\Box + m^2) \psi =\psi_{tt}-\psi_{xx}+m^2\psi=0\]
  • 다음과 같은 솔리톤 해들을 가짐
    • kink, antikink
    • kink-kink
    • kink-antikink
    • breather


오일러-라그랑지 방정식

  • 라그랑지안 \(\mathcal{L}_\text{SG}(\psi) = \frac{1}{2}(\psi_t^2 - \psi_x^2) -1 + \cos\psi\) 에 대하여 오일러-라그랑지 방정식\[\partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\mu \psi )} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi} = 0\] 을 적용하여 얻어진다



빛원뿔(light cone) 좌표계

  • 변수 \(\xi=\frac{t+x}{2}\), \(\eta=\frac{-t+x}{2}\) 를 도입하면, 사인-고든 방정식 (1)은 \[u_{\xi\eta}=\sin u \tag{2}\] 로 쓰여진다
  • 미분방정식 (2)은 19세기 상수곡률곡면 에 대한 연구에서도 등장한다


Bäcklund 변환

  • 함수 u가 사인-고든 방정식 \(u_{\xi\eta}=\sin u\)의 해라 하고, 다른 함수 v와 임의의 수 a 에 대하여 다음 방정식이 성립한다고 하자\[\begin{align}v_{\xi} & = u_{\xi} + 2a \sin \Bigl( \frac{u+v}{2} \Bigr) \\ v_{\eta} & = -u_{\eta} + \frac{2}{a} \sin \Bigl( \frac{v-u}{2} \Bigr)\end{align} \,\!\]
  • 함수 v도 사인-고든 방정식의 해가 된다
  • 해 u=0 에 이 변환을 적용하면, \(v(\xi ,\eta )=4 \arctan\left(\exp \left(\frac{\eta }{a}+a \xi \right)\right)\) 를 얻을 수 있다\[a=\frac{\sqrt{1-v}}{\sqrt{1+v}}\] 로 두면, \(4\arctan [\exp [\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]\)



traveling wave solution

  • \(u_{tt}-u_{xx}+\sin u=0\)
  • \(u(x,t)=f(x-vt)\) 라 두자.
  • u 가 사인-고든 방정식의 해가 되려면, f 는 \(v^2f''-f''+\sin f=0\) 를 만족시켜야 한다.
  • 적분하면 다음을 얻는다.\[\frac{1}{2}(c^2-1)(f')^2-\cos f=a\]
  • \(z\to \infty\) 일 때, \( f (z)\to 0\) 와 \(f'(z) \to 0\) 인 조건을 만족한다면, a=-1이 된다. 이 경우 다음 미분방정식을 풀면 된다\[(f')^2=\frac{4}{1-v^2}\sin^2(f/2)\]
  • 이 상미분방정식의 해는\[u(x,t)=4\arctan [\exp [\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]\]



솔리톤 해의 예

  • kink (soliton)\[u(x,t)=4\arctan [\exp [\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]\]
  • antikink (anti-soliton)\[u(x,t)=4\arctan [\exp -[\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]\]
  • kink-kink collison [PS1962]\[u(x,t)=4\arctan [\frac{v\sinh \frac{x}{\sqrt{1-v^2}}}{\cosh \frac{vt}{\sqrt{1-v^2}}}]\]
  • kink-antikink (particle-antiparticle) collison [PS1962]\[u(x,t)=4\arctan [\frac{\sinh \frac{vt}{\sqrt{1-v^2}}}{v\cosh \frac{x}{\sqrt{1-v^2}}}]\]
  • Breather = coupled kink-antikink\[4 \arctan \left(\frac{\sqrt{1-\omega ^2} \sin (t \omega )}{\omega \cosh \left(x \sqrt{1-\omega ^2}\right)}\right)\]\[\omega=1/{\sqrt{2}}\] 인 경우\[4 \arctan \left(\sin \left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right) \text{sech}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right)\]



히로타 bilinear method

\(u(x,t)=4\arctan [\frac{F(x)}{G(t)}]\)



역사



메모


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관련논문

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