"삼각함수에는 왜 공식이 많은가?"의 두 판 사이의 차이

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<h5>복소지수함수</h5>
 
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*  복소지수함수 <math>f(x)=e^{ix}=\cos x+ i\sin x</math> ([[오일러의 공식 e^{iπ}+1=0]]  항목 참조) 는 다음을 만족시킨다<br><math>e^{i\theta}e^{i\phi}=e^{i(\theta+\phi)}</math><br><math>f(x)f(y)=(\cos x+ i\sin x)(\cos y+i\sin y)=\cos (x+y)+i \sin (x+y)=f(x+y)</math><math>f(\theta)f(\phi)=(\cos \theta+ i\sin \theta)(\cos \phi+i\sin \phi)=\cos (\theta+\phi)+i \sin (\theta+\phi)=f(\theta+\phi)</math><br>
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*  삼각함수의 덧셈공식은 복소지수함수 <math>f(x)=e^{ix}=\cos x+ i\sin x</math>의 성질 <math>e^{i\theta}e^{i\phi}=e^{i(\theta+\phi)}</math>과 같다<br><math>e^{i\theta}e^{i\phi}=(\cos \theta+ i\sin \theta)(\cos \phi+i\sin \phi)=(\cos \theta \cos \phi - \sin \theta \sin \phi)+i(\sin \theta \cos \phi + \cos \theta \sin \phi )</math><br><math>e^{i(\theta+\phi)}=\cos (\theta+\phi)+i \sin (\theta+\phi)</math><br> 여기서 양변의 실수부와 허수부를 비교하면, 삼각함수의 덧셈공식을 얻<br>
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2010년 5월 27일 (목) 11:16 판

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개요
  • 사인과 코사인은 원을 매개화하는 함수
    • \(\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\)
  • 원은 군의 구조를 가짐. (군론(group theory))
    • \(e^{i\theta}e^{i\phi}=e^{i(\theta+\phi)}\)
  • 삼각함수의 많은 공식들은 이 원이 가진 군의 구조를 통하여 이해할 수 있음
  • 회전변환이 가진 군의 구조로 이해할 수도 있음
  • 비슷한 예로 타원함수와 자코비 세타함수의 많은 공식들은 타원곡선이 가지는 군의 구조를 이용하여 이해할 수 있음

 

 

덧셈공식
  • 삼각함수 항목 참조
    \(\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\)
    \(\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta\\)

 

복소지수함수
  • 삼각함수의 덧셈공식은 복소지수함수 \(f(x)=e^{ix}=\cos x+ i\sin x\)의 성질 \(e^{i\theta}e^{i\phi}=e^{i(\theta+\phi)}\)과 같다
    \(e^{i\theta}e^{i\phi}=(\cos \theta+ i\sin \theta)(\cos \phi+i\sin \phi)=(\cos \theta \cos \phi - \sin \theta \sin \phi)+i(\sin \theta \cos \phi + \cos \theta \sin \phi )\)
    \(e^{i(\theta+\phi)}=\cos (\theta+\phi)+i \sin (\theta+\phi)\)
    여기서 양변의 실수부와 허수부를 비교하면, 삼각함수의 덧셈공식을 얻

 

회전변환을 통한 이해
  • 평면에서 원점을 중심으로 각도 \(\theta \) 만큼의 회전변환은 다음 행렬로 표현된다
    \(\begin{pmatrix}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}\)
  • \(\theta_1\)과 \(\theta_2\) 만큼 회전시키는 두 회전변환을 합성하면, \(\theta_1+\theta_2\) 만큼 회전시키는 또다른 회전변환을 하나 얻게 되는데, 이로부터 덧셈공식을 얻을 수 있다
    \(\begin{pmatrix}\cos \theta_1 & -\sin \theta_1 \\ \sin \theta_1 & \cos \theta_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos \theta_2 & -\sin \theta_2 \\ \sin \theta_2 & \cos \theta_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos (\theta_{1}+\theta_{2}) & -\sin (\theta_{1}+\theta_{2}) \\ \sin (\theta_{1}+\theta_{2}) & \cos (\theta_{1}+\theta_{2}) \end{pmatrix}\)
  • 회전변환이 군의 구조를 갖기 때문에 나타나는 성질이다

 

 

타원함수의 경우

 

 

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