바이어슈트라스 타원함수 ℘

수학노트
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개요

  • 타원함수의 예


정의

  • 2차원격자의 기저가 되는 두 복소수 <math>\omega_1,\omega_2</math>에 대하여, 다음과 같은 복소함수를 정의
<math>\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2}+ \sum_{(m,n)\in \mathbb{Z}^2\backslash\{(0,0)\}} \left\{ \frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2}- \frac{1}{\left(m\omega_1+n\omega_2\right)^2} \right\}</math>
  • 이중주기를 갖는 함수
<math>\wp(z+\omega_1)=\wp(z+\omega_2)=\wp(z)</math>


℘의 로랑급수

  • 원점에서의 로랑급수는 다음과 같이 주어짐.
<math>\wp(z)=z^{-2}+\frac{g_2}{20}z^2+\frac{g_3}{28}z^4+\frac{g_2^2}{1200}z^6+O(z^8)</math> 여기서
<math>

g_2= 60\sum_{\omega \in \Omega,\omega\neq 0} \omega^{-4}\\ g_3=140\sum_{\omega \in \Omega,\omega\neq 0} \omega^{-6} </math>


증명

함수 <math>\zeta(z)</math>를 다음과 같이 정의하자

<math>\zeta(z)=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega,\omega\neq 0}\frac{z^2}{\omega^2(z-\omega)}=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega,\omega\neq 0}(\frac{1}{z-\omega}+\frac{1}{\omega}+\frac{z}{\omega^2})</math>

함수 <math>\wp(z)</math>는

<math>\wp(z)=-\zeta'(z)=\frac{1}{z^2}+\sum_{\omega\in \Omega,\omega\neq 0}\left(\frac{1}{(z-\omega)^2}- \frac{1}{\omega^2}\right)</math>을 만족하므로,

<math>\zeta(z)</math>의 로랑급수를 구한 뒤 미분을 하면 된다.

<math>

\begin{align} \zeta(z)&=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega,\omega\neq 0}\frac{z^2}{\omega^2(z-\omega)}\\ &=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega,\omega\neq 0}\frac{z^2}{\omega^2}(-\frac{1}{\omega}-\frac{z}{\omega^2}-\frac{z^2}{\omega^3}-\cdots)\\ &=\frac{1}{z}+\sum_{\omega \in \Omega,\omega\neq 0}(-\frac{z^2}{\omega^3}-\frac{z^3}{\omega^4}-\frac{z^4}{\omega^5}-\cdots)\\ &=\frac{1}{z}-G_3z^2-G_4z^3-\cdots=\frac{1}{z}-\sum_{n=2}^{\infty}G_{2n}z^{2n-1} \end{align} </math> 여기서

<math>G_{2n}=\sum_{\omega\in \Omega,\omega\neq 0} \frac{1}{\omega^{2n}}.</math>

따라서

<math>\wp(z)=\frac{1}{z^2}+\sum_{n=2}^{\infty}(2n-1)G_{2n}z^{2n-2}</math>

■

미분방정식

  • 바이어슈트라스 타원함수는 다음 미분방정식을 만족시킴:<math>\wp'(z)^2=4\wp(z)^3-g_2\wp(z)-g_3</math>



도함수의 해

  • <math>\wp(z)</math>는 우함수, <math>\wp'(z)</math>는 기함수임을 이용하면, <math>\wp'(\frac{\omega}{2})=0</math> 임을 증명할 수 있다
  • <math>e_1:=\wp(\frac{\omega_1}{2};\omega_1,\omega_2)</math>:<math>e_2:=\wp(\frac{\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2)</math>:<math>e_3:=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2)</math>
  • 다음 타원곡선의 branch points로 이해할 수 있음:<math>y^2=4x^3-g_2x-g_3=4(x-e_1)(x-e_2)(x-e_3)</math>



덧셈공식

<math>\wp(z+w)=-\wp(z)-\wp(w)+\frac{1}{4}(\frac{\wp'(z)-\wp'(w)}{\wp(z)-\wp(w)})^2</math>


자코비 세타함수를 이용한 표현


역사



메모



관련된 항목들

매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전 형태의 자료


관련논문

  • Brizard, Alain J. “Notes on the Weierstrass Elliptic Function.” arXiv:1510.07818 [math-Ph], October 27, 2015. http://arxiv.org/abs/1510.07818.
  • Eilbeck, J. Chris, Matthew England, and Yoshihiro Ônishi. 2012. “Some New Addition Formulae for Weierstrass Elliptic Functions.” arXiv:1207.6274 [math], July. http://arxiv.org/abs/1207.6274.
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