바이어슈트라스 시그마 함수

수학노트
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개요

  • 바이어슈트라스의 타원함수 이론에 등장
  • 사인함수와 비슷한 역할을 함
  • 격자에 대해 정의되며, 무한곱으로 정의되는 복소함수\[\sigma(z;\Lambda)=z\prod_{w\in\Lambda^{*}} \left(1-\frac{z}{w}\right) e^{z/w+\frac{1}{2}(z/w)^2}\]
  • 격자 \(\Lambda\)의 불변량 \(g_2= 60\sum{}' \omega_{m,n}^{-4}\), \(g_3=140\sum{}' \omega_{m,n}^{-6}\) 을 사용하여, \(\sigma(z;\Lambda)= \sigma \left(z;g_2,g_3\right)\) 로 쓰기도 함

 

 

로랑급수

  • z=0 부근에서 시그마함수는 다음과 같은 로랑급수 전개를 가진다\[\sigma \left(z;g_2,g_3\right)= z-\frac{g_2 z^5}{240}-\frac{g_3 z^7}{840}-\frac{g_2^2 z^9}{161280}-\frac{g_2g_3 z^{11}}{2217600}+\]

 

 

바이어슈트라스 타원함수 ℘ 와의 관계

 

 

 

세타함수로서의 시그마함수

\(\sigma(z+\omega_{i})=-e^{\eta_{i}(z+\omega_{i}/2)}\sigma(z)\) 

\(\sigma(z+2\omega_{i})=e^{\eta _i \left(2z+2\omega _i\right)} \sigma(z)\)

\(\sigma(z+3\omega_{i})=-e^{\eta_{i}(3z+9\omega_{i}/2)}\sigma(z)\)

\(\sigma(z+n\omega_{i})=(-1)^n e^{\eta_{i}(n z+n^2 \omega_{i}/2)}\sigma(z)\)

 

 

 

타원함수론

모든 정수 n에 대하여, 아래의 함수 \(f(z)\)는 타원함수이다

\(f(z)=\frac{\sigma(nz)}{\sigma(z)^{n^2}}\)

(증명)

\(f(z+\omega_{i})=f(z)\) 임을 보이자.

\(\sigma(z+\omega_{i})=-e^{\eta_{i}(z+\omega_{i}/2)}\sigma(z)\) 이므로, \(\sigma(z+\omega_{i})^{n^2}=(-1)^{n^2} e^{\eta_{i}(n^2 z+n^2 \omega_{i}/2)}\sigma(z)^{n^2}\)

\(\sigma(z+n\omega_{i})=(-1)^n e^{\eta_{i}(n z+n^2 \omega_{i}/2)}\sigma(z)\) 이므로 \(\sigma(n(z+\omega_{i}))=(-1)^n e^{\eta_{i}(n^2 z+n^2 \omega_{i}/2)}\sigma(n z)\).

\(f(z+\omega_{i}))=\frac{\sigma(n(z+\omega_{i}))}{\sigma(z+\omega_{i})^{n^2}}=\frac{\sigma(nz)}{\sigma(z)^{n^2}}=f(z)\). ■

 

 

역사

 

 

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관련논문

  • Hesketh, Graham D. “General Complex Envelope Solutions of Coupled-Mode Optics with Quadratic or Cubic Nonlinearity.” arXiv:1512.03092 [nlin, Physics:physics], December 9, 2015. http://arxiv.org/abs/1512.03092.
  • Ghanmi, A., Y. Hantout, and A. Intissar. “Series and Integral Representations of the Taylor Coefficients of the Weierstrass Sigma-Function.” The Ramanujan Journal 34, no. 3 (August 2014): 429–42. doi:10.1007/s11139-013-9539-2.
  • Hone, A. N. W. 2007. Sigma function solution of the initial value problem for Somos 5 sequences doi:0.1090/S0002-9947-07-04215-8
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  • Braden, Harry W., Victor Z. Enolskii, and Andrew N. W. Hone. “Bilinear Recurrences and Addition Formulae for Hyperelliptic Sigma Functions.” arXiv:math/0501162, January 11, 2005. http://arxiv.org/abs/math/0501162.