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<h5>개요</h5>
 
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* [[수열]]<math>\{a_n\}</math>에 대한 생성함수(generating function)는 <math>f(x)= a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n + \cdots</math> 로 주어짐
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* [[수열]]<math>\{a_n\}</math>에 대한 생성함수(generating function)의 정보를 담는 멱급수를 생성함수로 부른다
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* 다양한 종류의 생성함수가 있으며 수열의 성질에 따라 적합한 종류의 생성함수를 이용한다
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* [[search?q=%ED%95%B4%EC%84%9D%EC%A0%81%EC%A0%95%EC%88%98%EB%A1%A0&parent id=1987712|해석적정수론]]의 중요한 아이디어
 
* 수열이라는 이산적인 대상을, 미적분학이라는 연속적인 개념을 이용하는 도구를 통해 다룰수 있게 해줌.
 
* 수열이라는 이산적인 대상을, 미적분학이라는 연속적인 개념을 이용하는 도구를 통해 다룰수 있게 해줌.
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* [[search?q=%ED%95%B4%EC%84%9D%EC%A0%81%EC%A0%95%EC%88%98%EB%A1%A0&parent id=1987712|해석적정수론]]의 중요한 아이디어
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* [[L-함수, 제타함수와 디리클레 급수]]로 생성함수의 일종으로 이해할 수 있음
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* 생성함수의 수렴성에 대해서는
 
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* (무한)수열을 함수 하나 안에 쑤셔 넣은(!) 것. 수열을 다루기가 굉장히 편해진다.
 
  
 
 
 
 
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<h5>사용법</h5>
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<h5>ordinary 생성함수</h5>
  
 
'''1. 수열'''<math>\{a_n\}</math>'''이 주어져 있다.''''''<br> 2. 수열을 이용해서 다음과 같은 멱급수함수를 하나 만든다.''' (유한수열이면 다항식)
 
'''1. 수열'''<math>\{a_n\}</math>'''이 주어져 있다.''''''<br> 2. 수열을 이용해서 다음과 같은 멱급수함수를 하나 만든다.''' (유한수열이면 다항식)
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<math>G(x)= a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n + \cdots</math>
  
 
'''3. 함수를 구한다.'''
 
'''3. 함수를 구한다.'''
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<h5>지수생성함수</h5>
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<math>EG(a_n;x)=\sum _{n=0}^{\infty} a_n \frac{x^n}{n!}</math>
  
 
 
 
 
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Generating_function
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=<br>
 
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
 
* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
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<h5>표준적인 도서 및 추천도서</h5>
 
<h5>표준적인 도서 및 추천도서</h5>
  
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*  Lectures on Generating Functions (Student Mathematical Library, V. 23)<br>
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** Sergei K. Lando
 
* [http://www.amazon.com/Generatingfunctionology-Herbert-S-Wilf/dp/0127519564 generatingfunctionology]<br>
 
* [http://www.amazon.com/Generatingfunctionology-Herbert-S-Wilf/dp/0127519564 generatingfunctionology]<br>
 
** Herbert S. Wilf,
 
** Herbert S. Wilf,
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* [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/07/26/696 derangement : 목욕탕에서 서로 등을 밀어주는 경우의 수와 자연상수]<br>
 
* [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/07/26/696 derangement : 목욕탕에서 서로 등을 밀어주는 경우의 수와 자연상수]<br>
 
** 피타고라스의 창, 2008-7-26
 
** 피타고라스의 창, 2008-7-26
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<h5>위키링크</h5>
 
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* [http://en.wikipedia.org/wiki/Generating_function Generating function]<br>  <br>
 

2009년 12월 7일 (월) 11:39 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  • 수열\(\{a_n\}\)에 대한 생성함수(generating function)의 정보를 담는 멱급수를 생성함수로 부른다
  • 다양한 종류의 생성함수가 있으며 수열의 성질에 따라 적합한 종류의 생성함수를 이용한다
  • 해석적정수론의 중요한 아이디어
  • 수열이라는 이산적인 대상을, 미적분학이라는 연속적인 개념을 이용하는 도구를 통해 다룰수 있게 해줌.
  • L-함수, 제타함수와 디리클레 급수로 생성함수의 일종으로 이해할 수 있음

 

 

ordinary 생성함수

'1. 수열\(\{a_n\}\)이 주어져 있다.'
2. 수열을 이용해서 다음과 같은 멱급수함수를 하나 만든다. (유한수열이면 다항식)

\(G(x)= a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n + \cdots\)

3. 함수를 구한다.

 

 

분할수의 생성함수
  • 분할수의 경우
    \(\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \right = \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1} \)
  • 분할수를 데데킨트 에타함수의 성질을 통하여 이해할 수 있게 된다

 

 

지수생성함수

\(EG(a_n;x)=\sum _{n=0}^{\infty} a_n \frac{x^n}{n!}\)

 

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수학용어번역

 

 

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