데데킨트 에타함수

수학노트
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개요



모듈라 성질

  • (정리)
<math>\eta(\tau+1) =e^{\frac{\pi i}{12}}\eta(\tau)</math>
<math>\eta(-\frac{1}{\tau}) =\sqrt{\frac{\tau}{i}}\eta(\tau)=\sqrt{-i\tau}\eta({\tau})</math>

더 일반적으로, <math>ad-bc=1</math>, <math>c>0</math>인 정수 a,b,c,d에 대하여 다음이 성립한다

<math>\eta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) =\epsilon(a,b,c,d) \sqrt{-i\left(c\tau+d\right)}\eta(\tau) \label{mod}</math>

여기서 <math>-\frac{\pi}{4}<\arg \sqrt{-i(c\tau+d)}<\frac{\pi}{4}</math> 이 되도록 선택하며 (<math>\Re\left(-i(c\tau+d)\right) >0</math>이다),

<math>\epsilon(a,b,c,d)=\exp\left(\pi i \left(\frac{a+d}{12c}+s(-d,c)\right)\right)</math>

이고 <math>s(h,k)</math>는 데데킨트 합.



유리수점(cusp) 근처에서의 변화

(정리)

<math>q=e^{-t}</math> 으로 두면 <math>t\to 0</math> 일 때,

<math>\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^n)\sim \sqrt\frac{2\pi}{t}\exp(-\frac{\pi^2}{6t})</math>


(증명)

분할수의 생성함수(오일러 함수)에서 <math>\epsilon\sim 0</math> 일 때, <math>1-q\sim \epsilon</math> 이고

<math>\prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \sim \exp(\frac{\pi^2}{6\epsilon})</math>

임을 증명하였다. ■


더 일반적으로, <math>h,k</math>가 서로 소인 자연수일때, <math>q=\exp(\frac{2\pi ih}{k})e^{-t}</math> 이고 <math>t\to 0</math> 이면

<math>\sqrt{\frac{t}{2\pi}}\exp({\frac{\pi^2}{6k^2t}})\eta(\frac{h}{k}+i\frac{t}{2\pi})\sim \frac{\exp\left(\pi i (\frac{h}{12k}-s(h,k))\right)}{\sqrt{k}}</math>

이 성립한다. 여기서 <math>s(h,k)</math>는 데데킨트 합. 이는 데데킨트 에타함수의 모듈라 성질 \ref{mod}의 결과로 얻어진다



세타함수 형태의 표현

<math>\prod_{n=1}^\infty (1-q^n)=\sum_{k=-\infty}^\infty(-1)^kq^{k(3k-1)/2}</math> 의 양변에 <math>q^{1/24}</math>를 곱하여, 다음과 같은 세타함수 표현을 얻는다:<math>\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})=\sum_{n=-\infty}^\infty(-1)^n q^{\frac{(6n+1)^2}{24}}</math>


초기하급수 형태의 표현

<math>\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=1+\sum_{n\geq 1}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n</math>
  • <math>z=-q</math>로 두면, 데데킨트 에타함수의 다음과 같은 표현을 얻는다:<math>\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^n)=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^nq^{n(n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}</math>



판별식함수

<math>\Delta(\tau)=\eta(\tau)^{24}= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}=q-24q+252q^2+\cdots</math>



special values

<math>\eta(i)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})}{2 \pi ^{3/4}}</math>

<math>\eta(2i)=\frac{\Gamma \left(\frac{1}{4}\right)}{2^{11/8} \pi ^{3/4}}</math>

<math>\eta(\frac{i}{2})=\frac{\Gamma \left(\frac{1}{4}\right)}{2^{7/8} \pi ^{3/4}}</math>



관련된 항목들



매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전 형태의 자료


관련도서


리뷰, 에세이, 강의노트


관련논문

  • Van der Poorten, Alfred, and Kenneth S. Williams. 1999. “Values of the Dedekind Eta Function at Quadratic Irrationalities.” Canadian Journal of Mathematics. Journal Canadien de Mathématiques 51 (1): 176–224. doi:10.4153/CJM-1999-011-1.

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'dedekind'}, {'LOWER': 'eta'}, {'LEMMA': 'function'}]
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