"생성함수"의 두 판 사이의 차이

2009년 12월 23일 (수) 21:25 판

수열 \(\{a_n\}\)이 주어져 있다.
수열을 이용해서 다음과 같은 멱급수함수를 하나 만든다. (유한수열인 경우에는 다항식)
'''''''\(G(x)= a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n + \cdots\)'''''''
''''함수를 구한다.''''

\(EG(a_n;x)=\sum _{n=0}^{\infty} a_n \frac{x^n}{n!}\)

분할수의 경우
\(\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \right = \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1} \)
분할수를 데데킨트 에타함수의 성질을 통하여 이해할 수 있게 된다

자코비 세타함수
\(\theta(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2}\)
주어진 자연수를 여러 제곱의 합으로 표현하는 방법에 유용하게 사용된다
가령 자코비의 네 제곱수 정리의 경우
\(\theta^4(x)=(\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2})^4=(1+2\sum_{n=1}^\infty x^{n^2})^4=1+\sum_{n=1}^\infty r_4(n)x^n\)

Lectures on Generating Functions (Student Mathematical Library, V. 23)
- Sergei K. Lando
generatingfunctionology
- Herbert S. Wilf,
- PDF 파일 다운받기 : http://www.math.upenn.edu/~wilf/DownldGF.html

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 <h5>생성함수</h5>
-'''1. 수열 <math>\{a_n\}</math>이 주어져 있다.<br> 2. 수열을 이용해서 다음과 같은 멱급수함수를 하나 만든다. (유한수열인 경우에는 다항식)'''
+* '''수열 <math>\{a_n\}</math>이 주어져 있다.'''
+* '''수열을 이용해서 다음과 같은 멱급수함수를 하나 만든다. (유한수열인 경우에는 다항식)'''<br>''''''''''''<math>G(x)= a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n + \cdots</math>''''''''''''<br>
-'''<math>G(x)= a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n + \cdots</math>'''
+* '''''''''함수를 구한다.'''''''''
-'''3. 함수를 구한다.'''
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-<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">지수생성함수</h5>
+<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">지수생성함수</h5>
 <math>EG(a_n;x)=\sum _{n=0}^{\infty} a_n \frac{x^n}{n!}</math>
 * [[베르누이 수]]의 생성함수<br><math>\frac{t e^{t}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n\frac{t^n}{n!}</math><br>