"앤드류스-고든 항등식(Andrews-Gordon identity)"의 두 판 사이의 차이

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<h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">항등식</h5>
 
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<math>\sum_{n_1,\cdots,n_{k-1}\geq0}\frac{x^{N_1^2+\cdots+N_{k-1}^2+N_i+\cdots+N_{k-1}}}{(x)_{n_1}...(x)_{n_{k-1}}}=\prod_{r\neq 0,\pm i \pmod {2k+1}}\frac{1}{1-x^r} </math>
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*  자연수 <math>k\geq 2</math> , <math>1\leq i \leq k</math>에 대하여, 다음이 성립한다<br><math>\sum_{n_1,\cdots,n_{k-1}\geq0}\frac{x^{N_1^2+\cdots+N_{k-1}^2+N_i+\cdots+N_{k-1}}}{(x)_{n_1}...(x)_{n_{k-1}}}=\prod_{r\neq 0,\pm i \pmod {2k+1}}\frac{1}{1-x^r} </math><br> 이 때, <math>N_j=n_j+\cdots+n_{k-1}</math><br>
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*  여러 문헌에서 다음과 같이 표현되기도 한다<br><math>\sum_{n_1\geq\cdots\geq n_{k-1}\geq0}\frac{q^{n_1^2+\cdots+n_{k-1}^2+n_i+\cdots+n_{k-1}}}{(q)_{n_{1}-n_{2}}\cdots (q)_{n_{k-2}-n_{k-1}}(q)_{n_{k-1}}}=\prod_{n\neq 0,\pm i\pmod {2k+1}}(1-q^n)^{-1}</math><br>
  
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이 때, <math>N_j=n_j+\cdots+n_{k-1}</math>
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<h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">로저스-라마누잔 항등식</h5>
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*  k=2인 경우, [[로저스-라마누잔 항등식|로저스-라마누잔 연분수와 항등식]]을 얻는다<br>
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*  i=1인 경우<br><math>G(q) = \sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} =
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\frac {1}{(q;q^5)_\infty (q^4; q^5)_\infty}
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  =1+ q +q^2 +q^3 +2q^4+2q^5 +3q^6+\cdots</math><br>
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*  i=2인 경우<br>  <math>H(q) =\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} =
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\frac {1}{(q^2;q^5)_\infty (q^3; q^5)_\infty}
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=1+q^2 +q^3 +q^4+q^5 +2q^6+\cdots</math><br>
  
 
 
 
 
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<math>n_{1}^{2}</math>
 
<math>n_{1}^{2}</math>

2010년 11월 26일 (금) 23:34 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요

 

 

항등식
  • 자연수 \(k\geq 2\) , \(1\leq i \leq k\)에 대하여, 다음이 성립한다
    \(\sum_{n_1,\cdots,n_{k-1}\geq0}\frac{x^{N_1^2+\cdots+N_{k-1}^2+N_i+\cdots+N_{k-1}}}{(x)_{n_1}...(x)_{n_{k-1}}}=\prod_{r\neq 0,\pm i \pmod {2k+1}}\frac{1}{1-x^r} \)
    이 때, \(N_j=n_j+\cdots+n_{k-1}\)
  • 여러 문헌에서 다음과 같이 표현되기도 한다
    \(\sum_{n_1\geq\cdots\geq n_{k-1}\geq0}\frac{q^{n_1^2+\cdots+n_{k-1}^2+n_i+\cdots+n_{k-1}}}{(q)_{n_{1}-n_{2}}\cdots (q)_{n_{k-2}-n_{k-1}}(q)_{n_{k-1}}}=\prod_{n\neq 0,\pm i\pmod {2k+1}}(1-q^n)^{-1}\)

 

 

로저스-라마누잔 항등식
  • k=2인 경우, 로저스-라마누잔 연분수와 항등식을 얻는다
  • i=1인 경우
    \(G(q) = \sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} = \frac {1}{(q;q^5)_\infty (q^4; q^5)_\infty} =1+ q +q^2 +q^3 +2q^4+2q^5 +3q^6+\cdots\)
  • i=2인 경우
     \(H(q) =\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} = \frac {1}{(q^2;q^5)_\infty (q^3; q^5)_\infty} =1+q^2 +q^3 +q^4+q^5 +2q^6+\cdots\)

 

 

 

k=3인 경우

 

 

 

 

 

얻어지는 이차형식

\(n_{1}^{2}\)

\((n_{1}+n_{2})^{2}+n_{2}^{2}\)

\((n_{1}+n_{2}+n_{3})^{2}+(n_{2}+n_{3})^{2}+n_{3}^{2}\)

\((n_{1}+n_{2}+n_{3}+n_{4})^{2}+(n_{2}+n_{3}+n_{4})^{2}+(n_{3}+n_{4})^{2}+n_{4}^{2}\)

행렬은

\(\text{A=}\left( \begin{array}{ccccc} 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 4 & 4 & 4 \\ 2 & 4 & 6 & 6 & 6 \\ 2 & 4 & 6 & 8 & 8 \\ 2 & 4 & 6 & 8 & 10 \end{array} \right)\)

 

 

 

 

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