로저스-라마누잔 항등식

개요

모듈라 성질을 갖는 q-초기하급수(q-hypergeometric series) 의 중요한 예

로저스-라마누잔 항등식

다음의 두 항등식을 로저스-라마누잔 항등식이라 부른다

\[G(q) = \sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} = \frac {1}{(q;q^5)_\infty (q^4; q^5)_\infty} =1+ q +q^2 +q^3 +2q^4+2q^5 +3q^6+\cdots\] \[H(q) =\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} = \frac {1}{(q^2;q^5)_\infty (q^3; q^5)_\infty} =1+q^2 +q^3 +q^4+q^5 +2q^6+\cdots\]

Pochhammer 기호 참조

\[(a;q)_n = \prod_{k=0}^{n-1} (1-aq^k)=(1-a)(1-aq)(1-aq^2)\cdots(1-aq^{n-1})\]

q-초기하급수(q-hypergeometric series) 의 틀에서 이해할 수 있다

세타함수 표현과 모듈라 성질

세타함수를 통한 표현

\[G(q)=\frac{1}{(q)_{\infty}}\sum_{n\in \mathbb{Z}}(-1)^n q^{(5n^2+n)/2}\] \[H(q)=\frac{1}{(q)_{\infty}}\sum_{n\in \mathbb{Z}}(-1)^n q^{(5n^2+3n)/2}\]

로저스-라마누잔 함수는 약간의 수정을 통해 모듈라 성질을 갖게 됨

\[q^{-1/60}G(q) = q^{-1/60}\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} = \frac {q^{-1/60}}{(q;q^5)_\infty (q^4; q^5)_\infty}\] \[q^{11/60}H(q) =q^{11/60}\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} = \frac {q^{11/60}}{(q^2;q^5)_\infty (q^3; q^5)_\infty} \]

모듈라 변환

\[f(\tau)=\left( \begin{array}{c} q^{-1/60}G(q) \\ q^{11/60} H(q) \\ \end{array} \right) \] 로 두면, 다음이 성립한다 \[ f(\tau+1)= \left( \begin{array}{cc} \zeta_{60}^{-1} & 0 \\ 0 & \zeta_{60}^{11} \\ \end{array} \right)f(\tau) \]

\[ f(-\frac{1}{\tau}) = \frac{2}{\sqrt{5}} \left( \begin{array}{cc} \sin \left(\frac{2 \pi }{5}\right) & \sin \left(\frac{\pi }{5}\right) \\ \sin \left(\frac{\pi }{5}\right) & -\sin \left(\frac{2 \pi }{5}\right) \\ \end{array} \right)f(\tau) = \left( \begin{array}{cc} \sqrt{\frac{2}{5-\sqrt{5}}} & \sqrt{\frac{2}{5+\sqrt{5}}} \\ \sqrt{\frac{2}{5+\sqrt{5}}} & -\sqrt{\frac{2}{5-\sqrt{5}}} \\ \end{array} \right)f(\tau) \]

데데킨트 에타함수가 갖는 modularity와의 유사성\[\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})\]

cusp에서의 변화

\(q=e^{-t}\) 으로 두면 \(t\sim 0\) 일 때,

\[H(q)=\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} \sim \sqrt\frac{2}{5+\sqrt{5}}\exp(\frac{\pi^2}{15t}+\frac{11t}{60})+o(1)\] \[G(q)=\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} \sim \sqrt\frac{2}{5-\sqrt{5}}\exp(\frac{\pi^2}{15t}-\frac{t}{60})+o(1)\]

[McIntosh1995] 참조
이로부터 \(t\to 0\) 일 때, \(q=e^{-t}\to 1\) 으로 다음이 성립함을 알 수 있다

\[\frac{H(1)}{G(1)} = \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}}}=\varphi-1=0.618\cdots\]

로저스-라마누잔 연분수

두 함수의 비는 아래와 같은 연분수 표현을 가진다

\[\frac{H(q)}{G(q)} = \cfrac{1}{1+\cfrac{q}{1+\cfrac{q^2}{1+\cfrac{q^3}{1+\cdots}}}}\]

로저스-라마누잔 연분수 항목에서 다루기로 함

재미있는 사실

이 항등식은 통계물리의 Lee-Yang 모델과 밀접하게 관련되어 있음
http://mathoverflow.net/questions/29117/what-is-the-relationship-between-modular-forms-and-the-rogers-ramanujan-identitie

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxNmQ3NGMzZWMtZTg4OC00NjBlLTljNmUtOGExYjkyYjA3NDkx&sort=name&layout=list&num=50
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- A003114 Number of partitions of n into parts 5k+1 or 5k+4
- A003106 Number of partitions of n into parts 5k+2 or 5k+3.

사전형태의 자료

리뷰, 에세이, 강의노트

Andrews, George E., and R. J. Baxter. “A Motivated Proof of the Rogers-Ramanujan Identities.” The American Mathematical Monthly 96, no. 5 (May 1, 1989): 401–9. doi:10.2307/2325145.

블로그

수학과 대학원생이 되면 좋은점 - 라마누잔 이야기
- 피타고라스의 창, 2008-6-24

메타데이터

위키데이터

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[{'LOWER': 'rogers'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'ramanujan'}, {'LEMMA': 'identity'}]

로저스-라마누잔 항등식

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