연분수와 유리수 근사

수학노트
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연분수

<math>\frac{1+\sqrt5}{2}=1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}</math>

<math>\frac{-1+\sqrt5}{2}=\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}</math>

<math>-1+\sqrt{2}=\cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}</math>



연분수와 유리수 근사

  • 무리수 <math>\alpha</math>에 대하여, 유리수 <math>p/q</math>가 다음 부등식
<math>\left | \alpha-\frac{p}{q} \right |<\frac{1}{2{q^2}}</math>

을 만족시키는 경우, <math>p/q</math>는 무리수 <math>\alpha</math>의 단순연분수 전개의 convergents 중의 하나이다


유리수 근사와 황금비

유리수 근사와 황금비(i)

정리 (후르비츠)

무리수 <math>\alpha</math> 에 대하여, 부등식

<math>\left | \frac{p}{q}-\alpha \right |<\frac{1}{\sqrt{5}{q^2}}</math>

는 무한히 많은 유리수<math>p/q</math> 에 의하여 만족된다. 하지만 여기서 <math>\sqrt{5}</math> 는 더 큰 수로 대체될 수 없다.

유리수 근사와 황금비(ii)

후르비츠의 정리에서 <math>\sqrt{5}</math> 의 위치에 그보다 작은 수(예를 들자면 2)가 있어도 정리는 참이지만, <math>\sqrt{5}</math> 보다 큰 수는 불가능하다.

임의의 <math>0<h<1</math> 에 대하여

<math>\left | \frac{p}{q}-\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right |<\frac{h}{\sqrt{5}{q^2}}</math>

가 유한히 많은 유리수<math>p/q</math>에 의해서만 만족됨을 보이면 충분하다.


증명

위의 부등식이 만족되는 경우, 적당한 <math>|\theta|<h<1</math>에 대하여, 다음과 같이 쓸 수 있다.

<math>\frac{p}{q}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\frac{\theta}{\sqrt{5}{q^2}}</math>


<math>\frac{p}{q}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{\theta}{\sqrt{5}{q^2}}</math>


<math>5q^2 \left \{ (p^2-pq-q^2)-\theta \right \} =\theta^2</math>


<math>(p^2-pq-q^2)-\theta</math> 는 양수이고, 정수 <math>p^2-pq-q^2</math>는 0이 될 수 없으므로, <math>p^2-pq-q^2\geq1</math>

따라서,

<math>q^2=\frac{\theta^2}{5\{(p^2-pq-q^2)-\theta\}}<\frac{h^2}{5(1-h)}</math>

그러므로, 주어진 부등식은 유한히 많은 <math>q</math> 에 대해서만 참이다. 또한 각각의 <math>q</math>에 대하여, 오직 유한히 많은 <math>p</math> 만이 부등식을 만족시킨다. ■


연분수의 재미있는 응용


관련된 고교수학 또는 대학수학



관련된 항목들



사전 형태의 자료



관련논문



관련도서



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메타데이터

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  • [{'LOWER': 'continued'}, {'LEMMA': 'fraction'}]
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