수학과 음악

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음계의 구성과 수학

아래는 소리의 진동수의 비율. 현을 튕겨서 소리를 낸다면, 현의 길이의 비라고 생각해도 됩니다.

  • 으뜸음 tonic
  • octave 2:1
  • fifth 3:2
  • fourth 4:3
  • 8음계에서 일렬로 배열했을때의 순서
  • 옥타브의 비율은 2:1 즉 12:6
  • 산술평균을 취하여 새 음을 만들면 9
  • 9:6 은 fifth
  • 12:9 는 fourth
  • 조화평균을 취하여 새 음을 만들면 8
  • 8:6 은 fourth
  • 12:8 는 fifth


12음계와 수학

뉴턴과 함께 미적분학을 발명해 낸 사람이라고 평가되는 라이프니츠는 음악에 대하여 이렇게 말했다. “Music is the pleasure the human mind experiences from counting without being aware that it is counting.” - 음악은 수를 센다는 것을 의식하지 못한채 수를 세는 것으로부터 즐거움을 준다. 평균율과 순정율에 대해서 간단히 설명한 뒤에, 왜 음이 12개인지에 대한 부분적인 답을 찾아보자.

음을 수로 다룰수 있게 하는 가장 중요한 사실은 음과 그 진동수의 대응관계로부터 온다. 우리에게 고정된 줄 하나가 있고, 줄의 어떤 부분인가를 누르고 줄을 뜅기면 소리가 난다. 이 누르는 위치를 변화시키면 소리도 변한다. 음이란 이 무한히 많은 줄의 각점과 연속적으로 대응된다. 음은 무한한 영역에 걸쳐져 있다. 즉 음이란 애초에 12개가 아니다. 12개란 어떤 기준에 의해 선택된 것이다.

고정된 줄을 그냥 쳤을 때 나는 음을 일단 C라고 부르자. 간단히 이 때의 진동수를 1이라 하자. 이제 다시 줄의 절반지점을 누르고 뜅겼을 때 나는 음은 C와는 다를 것이다. 이 때의 진동수는 줄의 길이에 반비례해서 2이다. 음은 비록 다르지만 우리에게 주는 느낌은 비슷하다. 즉 ‘도레미’를 한옥타브 높여서 ‘도레미’라 부르면 달라지긴 했지만, 다른것이 아닌 같은것이라고 인지하게 되는 현상이 일어난다. 이 성질이 음의 무한한 영역에 질서를 부여한다. 진동수 1인 음과 진동수 2인음의 관계는 진동수 2인음과 진동수 4인 음의 관계와 같다. 따라서 1과 2사이에 놓여진 수많은 수 중에서 특정한 몇 개를 선택해 낸다면, 같은 비율로서 2와 4사이의 몇 개를 선택할 수 있고, 이 선택된 음들은 한옥타브 높은 동일한 소리들을 내 주게 된다. 이 과정을 반복하면, 끊임없이 옥타브를 높여갈 수 있다.

즉 문제는 1과 2사이를 어떻게 나눌 것인가 하는 것이다. 이 나누는 방법의 차이가 서로 다른 문명의 음악의 차이를 가져왔다.


1과 2사이의 몇 개의 수를 골라내는 것이 음계를 만들어 내는 것과 동일하다는 사실을 이해했다면, 이제는 그것들을 구체적으로 어떻게 골라낼 것인가에 대해 생각해 볼 때이다.

기준이 되는 음 도와 한 옥타브 올라간 도 그 사이에 놓인 가장 중요한 음은 ‘솔’이다. 이는 솔이 갖는 진동수가 1.5 즉 3/2 이기 때문이다. 도와 솔의 진동수의 비가 간단한 정수비라는 사실은 이 두 소리가 함께 울릴 때 사람의 귀에 조화롭게 들린다는 것을 의미한다. 음의 조화가 수의 비례에 기초하고 있다는 사실을 피타고라스가 처음 발견했다고 알려지고 있다.

1과 3/2 가 갖는 관계를 3/2과 9/4도 갖게 된다. 그러나 9/4는 2를 넘어선 즉 한옥타브 위의 음이므로 한옥타브 낮추어 9/8을 얻으면 이것이 찾고 있던 새로운 음이 된다. 이것이 ‘레’다. 같은 방법으로 ‘라’가 구성되고, 이런 과정을 반복하여 얻을 음계를 피타고라스 음계라고 한다. 즉 도는 1, 레는 9:8, 미 81:64, 파 4:3 솔 3:2 라 27:16 시 243:128 도 2 의 진동수의 음계이다.

이 외에도 5:4 를 끼워넣어 다른 음계를 구성하는 방법도 있고, 많은 방법이 있는 것으로 알고 있지만, 이러한 방법은 모두 정수비 즉 유리수에 기초하고 있는 음계이다. 간단한 정수비를 기반으로 하는 것은 인간의 귀에 맞는 방법이라 할 수 있을 것이다. 그러나 이러한 방법은, 조가 몇 차례 바뀌어 다시 원래의 조로 돌아왔을 때, 음이 살짝 달라 질수도 있다는 문제는 일으킨다. 따라서 듣기에는 좋을 수 있으나, 연주에 문제가 생긴다.

평균율이란 각 음 사이의 비례를 일정하게 해서 구성한 음계이다. 즉, 12번 곱했을 때 2가 되는 수 즉, r=12√2≒1.0595 가 음사이의 비율이다. r은 무리수이다. 1은 도, r은 도#, r제곱은 레 r세제곱은 레# 이런 식으로 음계를 구성해 나가는 것이다. 그러나 이러한 음계의 솔이 내는 음이 r의 7승 즉 무리수라는 사실 다시 말해, 3/2가 아니라는 사실, 즉 인간의 귀가 듣고 싶어하는 게 아니라는 사실이 바로 문제가 된다.

피아노 연주가는 구원을 얻고 감상자에게는 재앙이 왔는가 ?


이제 12라는 특정한 수가 어디서 기원했는가를 생각해 볼 때이다. 왜 서양음악의 음계는 12음으로 구성되었는가? 이 질문에 제대로 답하는 것은 서양음악의 역사를 거슬러 올라가 문헌을 뒤지는 일로서 할 수 있는 일일 것이나, 여기서는 이제 방향을 틀어 수학으로 간다. 그다지 많이는 어렵지 않으므로, 한번 따라가 보는 것도 괜찮을 것이다.

평균율 음계를 구성한다고 가정하고, r^(n/m) 이라는 표현을 r의 n/m 제곱이라고 이해하자.

음계에 필요한 수를 m 개라 하면, r^m=2 를 만족시켜야 한다. 이는 옥타브를 위해 필요한 식이다. 즉 r = 2^(1/m) 이다.

이 음계의 첫음 즉 도는 1=r^0 이다. 다음은 r^1, 셋째음은 r^2 , … , r^m=2가 될 때, 완전한 한음계를 얻는다. 이제 몇 번 째 음으로 하여금 r^n=3/2 가 만족되도록 할 것인가, 즉, 솔을 얻을 것인가를 생각하자. 그러나 이러한 음계에서는 이미 정확하게 3/2를 얻을 수 없다. r은 언제나 무리수니까, 따라서 3/2에 될 수 있으면 가깝게 가도록 하는 것이 답이다. r^n=2^(n/m) 가 3/2 에 가깝도록 만들어야 한다.

2^(n/m)=3/2 라 가정해 놓고, 적당한 계산을 한다면, n/m=log (3/2) / log 2 를 얻는다. 문제는 이제 log (3/2) / log 2 에 가까운 유리수를 찾는 문제로 바뀌었다.

무리수를 유리수로서 근사시키는 기술, 이것이 수학에 있다. 연분수, continued fraction 이라고 하는 것이 이것이다. 유리수의 분모가 커질수록 무리수에 가깝게 갈 수는 있지만, 연분수의 개념은 이러한 유리수들 중에도 특별히 좋을 성질을 갖는 근사가 있음을 알려준다. 이를 적용해 log (3/2) / log 2 에 가까운 유리수를 찾는 과정에 등장하는 수는 1, 1/2, 3/5 , 7/12 , 24/41 … 이다.

n/m=7/12 가 바로 찾던 그 녀석이다. 도,도#,레,레#,미,파,파#,솔 … 7/12 는 12음계의 8번째음이 진동수 3/2 에 가까운 그 음임을 말해준다.

이 방법에 어떤 흥미로운 점을 제공하는 것이 3/5 이 등장한다는 것, 즉 5음계를 구성해도 도와 솔의 관계가 좋다는 것을 보여준다는 점이다. 5음계는 초등학교 때부터 우리에게 친숙한 것이 아니던가.


\[\log_2 3=[1,1,1,2,2,3,1,5,2,\cdots]\]




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  • The Math Behind the Music, Leon Harkleroad
  • Measured Tones, Ian Johnston


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