타자의 타율과 연분수

수학노트
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개요

  • 다음 문제를 생각하자

타자 타율이 0.334면, 타자는 최소 몇 타수가 필요한가?

  • 타율은 (안타/타수)로 정의되며 소수 넷째자리에서 반올림하여 얻어진다
  • 답은 287타수이며, 이 답을 얻기 위해 연분수를 사용할 수 있다


타율 0.334

287타수를 얻는 법

  • 타율이 0.334가 되도록 하는 분수에 대하여 연분수 근사를 적용해보자.
  • 33449/100000 에 대한 연분수 전개 $[0; 2, 1, 95, 2, 1, 1, 7, 9]$, 즉

$$ \LARGE 0.33449= \frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{95+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{7+\frac{1}{9}}}}}}}} $$ \[\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{96}{287},\cdots\] \[\frac{96}{287}=0.334494\cdots \]

  • 따라서 287타수 96안타면 타율 0.334가 가능
  • 참고 : 33351/100000 에 대한 연분수 전개 $[0; 2, 1, 628, 3, 1, 3, 1, 2]$
  • 629/1886 = 0.33351007423117707

286타수 이하에서는 타율 0.334가 불가능함을 보이기

정리

임의의 자연수 \(q\) 와 \(1\leq p<287\) 에 대해서, 다음 부등식이 성립한다. \[|\frac{q}{p}-0.334|>0.0005\]

증명

$p$가 1 또는 2인 경우에는 부등식을 쉽게 확인할 수 있다.

\(3\leq p<287\)라고 가정하자.

\[ \begin{aligned} {}& |{q}-\frac{334p}{1000}|>\frac{p}{2000}\\ \iff & |{q}-\frac{p}{3}-\frac{334p}{1000}+\frac{p}{3}|>\frac{p}{2000}\\ \iff & |{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|>\frac{p}{2000} \end{aligned} \]

임을 보이면 된다.

이제 \[|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|\] 의 최소값에 대하여 생각해 보자.

\(p=3k\) 꼴인 경우, \(k=1,2,\cdots,95\) 가 가능.

\[|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|=|{q}-k-\frac{2}{1000}k|\geq\frac{2k}{1000}>\frac{3k}{2000}=\frac{p}{2000}\]

\(p=3k+1\) 꼴인 경우, \(k=1,2,\cdots,95\) 가 가능.

\[|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|=|{q}-k-\frac{1}{3}-\frac{2k}{1000}-\frac{2}{3000}|\geq\frac{1}{3}+\frac{2k}{1000}+\frac{2}{3000}>\frac{3k}{2000}+\frac{1}{2000}=\frac{p}{2000}\]

\(p=3k-1\) 꼴인 경우, \(k=1,2,\cdots,95\) 가 가능.

\[|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|=|{q}-k+\frac{1}{3}-\frac{2k}{1000}+\frac{2}{3000}|\geq\frac{1}{3}-\frac{2k}{1000}+\frac{2}{3000}>\frac{3k}{2000}-\frac{1}{2000}=\frac{p}{2000}\]

그러므로 \(3\leq p<287\) 인 경우, 모든 자연수 \(q\) 에 대하여 다음 부등식은 참이다. \[|{q}-\frac{334p}{1000}|>\frac{p}{2000}\] ■


0.334는 특별한가

  • 아래의 표는 주어진 타율을 얻기 위하여 필요한 최소의 타수 및 그 타율과 가까운 간단한 분수를 나타낸다.
  • 이 표에서는 필요한 타수가 100이상인 타율만 나타냈다
  • 표에 등장하는 타율은 간단한 분수로 표현되지는 않지만, 그에 매우 가깝다는 특징을 갖는다
  • 가령 0.334는 1/3에 가깝지만, 그와 같지는 않다

$$ \begin{array}{ccc} \text{avg} & \text{at bat} & \text{simple ratio} \\ \hline 0.999 & 667 & 1/1 \\ 0.001 & 667 & 0/1 \\ 0.002 & 401 & 0/1 \\ 0.998 & 400 & 1/1 \\ 0.501 & 335 & 1/2 \\ 0.499 & 335 & 1/2 \\ 0.666 & 287 & 2/3 \\ 0.334 & 287 & 1/3 \\ 0.997 & 286 & 1/1 \\ 0.003 & 286 & 0/1 \\ 0.996 & 223 & 1/1 \\ 0.004 & 223 & 0/1 \\ 0.502 & 201 & 1/2 \\ 0.498 & 201 & 1/2 \\ 0.668 & 184 & 2/3 \\ 0.332 & 184 & 1/3 \\ 0.995 & 182 & 1/1 \\ 0.005 & 182 & 0/1 \\ 0.751 & 169 & 3/4 \\ 0.249 & 169 & 1/4 \\ 0.749 & 167 & 3/4 \\ 0.251 & 167 & 1/4 \\ 0.665 & 155 & 2/3 \\ 0.335 & 155 & 1/3 \\ 0.994 & 154 & 1/1 \\ 0.006 & 154 & 0/1 \\ 0.834 & 145 & 5/6 \\ 0.166 & 145 & 1/6 \\ 0.503 & 143 & 1/2 \\ 0.497 & 143 & 1/2 \\ 0.601 & 138 & 3/5 \\ 0.572 & 138 & 4/7 \\ 0.428 & 138 & 3/7 \\ 0.399 & 138 & 2/5 \\ 0.599 & 137 & 3/5 \\ 0.401 & 137 & 2/5 \\ 0.801 & 136 & 4/5 \\ 0.199 & 136 & 1/5 \\ 0.993 & 134 & 1/1 \\ 0.799 & 134 & 4/5 \\ 0.201 & 134 & 1/5 \\ 0.007 & 134 & 0/1 \\ 0.715 & 123 & 5/7 \\ 0.285 & 123 & 2/7 \\ 0.992 & 118 & 1/1 \\ 0.669 & 118 & 2/3 \\ 0.331 & 118 & 1/3 \\ 0.008 & 118 & 0/1 \\ 0.504 & 113 & 1/2 \\ 0.496 & 113 & 1/2 \\ 0.555 & 110 & 5/9 \\ 0.445 & 110 & 4/9 \\ 0.664 & 107 & 2/3 \\ 0.336 & 107 & 1/3 \\ 0.991 & 106 & 1/1 \\ 0.858 & 106 & 6/7 \\ 0.142 & 106 & 1/7 \\ 0.009 & 106 & 0/1 \\ 0.748 & 103 & 3/4 \\ 0.252 & 103 & 1/4 \\ 0.752 & 101 & 3/4 \\ 0.248 & 101 & 1/4 \end{array} $$


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