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*  무한한 길이의 막대를 가정<br>
 
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*  초기조건 (<math>t=0</math>) 에서의 온도분포<br><math>u(x,0)=f(x)</math><br>
 
*  초기조건 (<math>t=0</math>) 에서의 온도분포<br><math>u(x,0)=f(x)</math><br>
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* heat kernel ([[정규분포와 그 확률밀도함수]])<br><math>\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)</math><br>
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* <math>N(\mu,\sigma^2)</math> 인 정규분포의 확률밀도함수는 다음과 같다 ([[정규분포와 그 확률밀도함수]])<br><math>\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)</math><br>
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*  heat kernel<br><math>K(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\exp\left(-\frac{x^2}{2t}\right)</math><br>  <br>
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">사전 형태의 자료</h5>
 
<h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">사전 형태의 자료</h5>
  
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
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* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%97%B4%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D http://ko.wikipedia.org/wiki/열방정식]
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Heat_equation
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Heat_equation
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Heat_kernel
 
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]

2010년 10월 21일 (목) 09:02 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  • 열의 전달을 기술하는 편미분방정식
    \(\frac{\partial u}{\partial t} -\beta\left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}\right)=0\)
  • 일반적으로 라플라시안을 사용하여 다음과 같이 표현
    \(\frac{\partial u}{\partial t} = \beta\nabla^2 u\)

 

 

경계조건과 초기조건
  • 경계조건 (양 끝점의 온도는 고정)
    \( t>0\) 일 때, \(u(0,t)=u(L,t)=0\)
  • 초기조건 (\(t=0\)) 에서의 온도분포
    \(u(x,0)=f(x)\)

 

 

변수분리를 통한 해

\(u(x,t)=X(x)T(t)\)로 두자.

\(X''(x)=K_{n}X(x)\)

\(T'(t)=\beta K_{n}T(t)\)

여기서 \(K_{n}=-(\frac{n\pi}{L})^2, \n=1,2,3,\cdots\)

\(u(x,t)=e^{-k n^2 t} e^{ik nx}\) 는 위의 열방정식의 해이다.

 

 

가우시안 Heat kernel
  • 무한한 길이의 막대를 가정
  • 초기조건 (\(t=0\)) 에서의 온도분포
    \(u(x,0)=f(x)\)
  • \(N(\mu,\sigma^2)\) 인 정규분포의 확률밀도함수는 다음과 같다 (정규분포와 그 확률밀도함수)
    \(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)\)
  • heat kernel
    \(K(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\exp\left(-\frac{x^2}{2t}\right)\)
     

 

 

 

자코비세타함수와 열방정식

\(\vartheta (x,it)=1+2\sum_{n=1}^\infty \exp(-\pi n^2 t) \cos(2\pi nx)\)

\(\frac{\partial}{\partial t} \vartheta(x,it)=\frac{1}{4\pi} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \vartheta(x,it)\)

 

 

 

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