오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem)

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• 오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem)

 

 

개요

• 오일러의 오각수정리
  \(\prod_{n=1}^\infty (1-x^n)=\sum_{k=-\infty}^\infty(-1)^kx^{k(3k-1)/2}\)
  \((1-x)(1-x^2)(1-x^3) \cdots = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots\)
  
• 세타함수의 무한곱표현의 일종으로 이해할 수 있음(자코비 세타함수의 삼중곱 공식 참조)
   
  \(\sum _{m=-\infty }^{\infty } (-1)^mq^{\frac{3}{2}m^2\pm \frac{1}{2}m} = \prod _{n=1}^{\infty } \left(1-q^{3 n}\right)\left(1-q^{3n-2}\right)\left(1-q^{3n-1}\right)\)
  
• 분할수\(p(n)\)의 생성함수의 역이다
  \(\sum_{n=0}^\infty p(n)x^n = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-x^n} \right = \prod_{n=1}^\infty (1-x^n)^{-1} \)
  

 

 

오각수

[/pages/4145675/attachments/2083649 pentagonal-numbers.gif]

• 1, 5, 12, 22, 35,...
  \(\frac{n(3n-1)}{2}\)
  

 

 

일반화된 오각수

• \((1-x)(1-x^2)(1-x^3) \cdots = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots\)에 등장하는 수
  
• \(k=\frac{j(3j\pm 1)}{2}\) 꼴로 주어짐 (\(j=1,2,3\cdots\))
  

 

 

증명

• 자코비 세타함수의 삼중곱표현의 특수한 경우로 얻어진다
  
• 삼중곱에 대해서는 자코비 세타함수 항목 참조
  

(증명)

\(\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + zq^{2m-1}\right) \left( 1 + z^{-1}q^{2m-1}\right)=\sum_{n=-\infty}^\infty z^{n}q^{n^2}\)

\(q=x^{3/2}\), \(z=-x^{1/2}\)로 두면, 다음을 얻는다

\(\operatorname{(LHS)}=\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - x^{3m}\right) \left( 1 - x^{1/2}x^{3m-3/2}}\right) \left(1 - x^{-1/2}x^{3m-3/2}}\right)=\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - x^{3m}\right) \left(1- x^{3m-1}}\right) \left(1 - x^{3m-2}}\right) = \prod_{n=1}^\infty (1-x^n)\)

\(\operatorname{(RHS)}=\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^{n}x^{n(3n-1)/2}\)■

 

 

 

데데킨트 에타함수

• 위의 급수에 \(q^{1/24}\)를 곱하면, 데데킨트 에타함수의 세타함수 표현을 얻는다
   
  \(\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})=\sum_{n=-\infty}^\infty(-1)^n q^{\frac{(6n+1)^2}{24}}\)
  여기서  \(q=e^{2\pi i\tau}\).
  
• 데데킨트 에타함수는 모듈라 성질을 가진다
  

 

 

 

역사

• 수학사연표

 

 

관련된 항목들

• 자연수의 분할수(integer partitions)
  
• 자코비 세타함수
  
• 정오각형
  

 

 

수학용어번역

• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=pentagonal
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/오각수
• http://en.wikipedia.org/wiki/pentagonal_number_theorem
• http://en.wikipedia.org/wiki/Pentagonal_numbers

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스4145675/attachments/5127574

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• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=pentagonal+numbers
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  
  • A000326, 오각수
  • http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=pentagonal
• Numbers, constants and computation

• 매스매티카 파일 목록

 

 

관련논문

• Euler and the pentagonal number theorem
  
  • Jordan Bell,  arXiv.org, 2005
    
• Euler's Pentagonal Number Theorem
  
  • George E. Andrews, Mathematics Magazine, Vol. 56, No. 5 (Nov., 1983), pp. 279-284
    

 

 

 

 

 

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