"정다각형의 대각선의 길이"의 두 판 사이의 차이
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* 한 변의 길이가 1인 정n각형의 대각선의 길이는 다음과 같이 주어짐<br><math>r_i=\frac{\sin \frac{(i+1)\pi}{7}}{\sin \frac{\pi}{7}}}</math> , <math>i=0,1,\cdots,n-2</math><br> 여기서 <math>r_0=1</math>, <math>r_{n-2}=1</math><br> | * 한 변의 길이가 1인 정n각형의 대각선의 길이는 다음과 같이 주어짐<br><math>r_i=\frac{\sin \frac{(i+1)\pi}{7}}{\sin \frac{\pi}{7}}}</math> , <math>i=0,1,\cdots,n-2</math><br> 여기서 <math>r_0=1</math>, <math>r_{n-2}=1</math><br> | ||
* 그림은 [[정칠각형]] 의 경우<br>[/pages/6782509/attachments/4290397 heptagon.png]<br> | * 그림은 [[정칠각형]] 의 경우<br>[/pages/6782509/attachments/4290397 heptagon.png]<br> | ||
| − | * 대각선이 만족시키는 항등식 1<br><math>r_hr_k=r_{h-k}+r_{h-k+2}+\cdots+r_{h+k}, | + | * 대각선이 만족시키는 항등식 1<br><math>r_hr_k=r_{h-k}+r_{h-k+2}+\cdots+r_{h+k}</math>, <math>0\leq k\leq h<n/2</math>. 우변은 k+1개항의 합.<br><math>r_0r_0=r_0</math><br><math>r_1r_0=r_1</math><br><math>r_1r_1=r_0+r_2</math><br><math>r_2r_0=r_2</math><br><math>r_2r_1=r_1+r_3</math><br><math>r_2r_2=r_0+r_2+r_4</math><br><math>r_3r_0=r_3</math><br><math>r_3r_1=r_2+r_4</math><br><math>r_3r_2=r_1+r_3+r_5</math><br><math>r_3r_3=r_0+r_2+r_4+r_6</math><br> |
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| + | * 대각선이 만족시키는 항등식 2<br><math>r_i^2=1+r_{i-1}r_{i+1}, 1\leq i \leq n-3</math><br> | ||
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2010년 12월 23일 (목) 09:28 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 한 변의 길이가 1인 정n각형의 대각선의 길이는 다음과 같이 주어짐
\(r_i=\frac{\sin \frac{(i+1)\pi}{7}}{\sin \frac{\pi}{7}}}\) , \(i=0,1,\cdots,n-2\)
여기서 \(r_0=1\), \(r_{n-2}=1\) - 그림은 정칠각형 의 경우
[/pages/6782509/attachments/4290397 heptagon.png] - 대각선이 만족시키는 항등식 1
\(r_hr_k=r_{h-k}+r_{h-k+2}+\cdots+r_{h+k}\), \(0\leq k\leq h<n/2\). 우변은 k+1개항의 합.
\(r_0r_0=r_0\)
\(r_1r_0=r_1\)
\(r_1r_1=r_0+r_2\)
\(r_2r_0=r_2\)
\(r_2r_1=r_1+r_3\)
\(r_2r_2=r_0+r_2+r_4\)
\(r_3r_0=r_3\)
\(r_3r_1=r_2+r_4\)
\(r_3r_2=r_1+r_3+r_5\)
\(r_3r_3=r_0+r_2+r_4+r_6\)
(증명)
삼각함수의 덧셈과 곱셈 공식 을 이용하자.
\(\sin{x} \sin{y} = -{\cos(x + y) - \cos(x - y) \over 2}\)
\(\sin \frac{(h+1)\pi}{n}\sin \frac{(k+1)\pi}{n}=\sum_{j=0}^{k}\sin \frac{(h-k+2j+1)\pi}{n}\sin \frac{\pi}{n}\)
\(r_hr_k=r_{h-k}+r_{h-k+2}+\cdots+r_{h+k}\) ■
- 대각선이 만족시키는 항등식 2
\(r_i^2=1+r_{i-1}r_{i+1}, 1\leq i \leq n-3\)
정사각형의 대각선
정오각형의 대각선
- 정오각형 에서 가져옴
- 정오각형의 한 변의 길이와 대각선의 길이의 비율은 황금비가 된다.
[/pages/3002548/attachments/1344232 180px-Ptolemy_Pentagon.svg.png]
\({b \over a}={{(1+\sqrt{5})}\over 2}\)
정칠각형의 대각선
재미있는 사실
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