"중심이항계수 (central binomial coefficient)"의 두 판 사이의 차이

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Central Binomial Sums
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<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">급수와 중심이항계수</h5>
  
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* [[이항급수와 이항정리]]<br><math>\frac{1}{\sqrt{1-4z}}=\sum_{n=0}^{\infty} {{2n}\choose {n}} z^n</math><br>
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*  역삼각함수<br><math>2(\arcsin x)^2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}</math><br><math>\frac{2x \arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n\binom{2n}{n}}</math><br>
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* [[카탈란 수열(Catalan numbers)]] 의 생성함수<br><math>G(x)= c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + \cdots + c_n x^n + \cdots=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}</math><br><math>c_n = \frac{1}{n+1}{2n\choose n}</math><br>
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<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">역삼각함수</h5>
 
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<math>2(\sin^{-1} x)^2=\sum_{n=1}^{\finfty}\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}</math>
 
  
 
 
 
 
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* [[ζ(3)는 무리수이다(아페리의 정리)]]<br>
 
* [[ζ(3)는 무리수이다(아페리의 정리)]]<br>
 
* [[폴리로그 함수(polylogarithm)]]<br>
 
* [[폴리로그 함수(polylogarithm)]]<br>
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* [[이항급수와 이항정리]]<br>
  
 
 
 
 
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* [http://arxiv.org/abs/hep-th/0004153 Central Binomial Sums, Multiple Clausen Values and Zeta Values]<br>
 
* [http://arxiv.org/abs/hep-th/0004153 Central Binomial Sums, Multiple Clausen Values and Zeta Values]<br>
 
** J. M. Borwein, D. J. Broadhurst, J. Kamnitzer, 2000
 
** J. M. Borwein, D. J. Broadhurst, J. Kamnitzer, 2000
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* Interesting Series Involving the Central Binomial Coefficient<br>
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* [http://www.jstor.org/stable/2322496 Interesting Series Involving the Central Binomial Coefficient]<br>
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** D. H. Lehmer, The American Mathematical Monthly, Vol. 92, No. 7 (Aug. - Sep., 1985), pp. 449-457
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*    D. H. Lehmer, The American Mathematical Monthly, Vol. 92, No. 7 (Aug. - Sep., 1985), pp. 449-457
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* [http://dx.doi.org/10.1016/0022-314X(85)90019-8 On the series Σk = 1∞(k2k)−1 k−n and related sums]<br>
 
* [http://dx.doi.org/10.1016/0022-314X(85)90019-8 On the series Σk = 1∞(k2k)−1 k−n and related sums]<br>
 
** I. J. Zucker, Journal of Number Theory, Volume 20, Issue 1, February 1985, Pages 92-102   
 
** I. J. Zucker, Journal of Number Theory, Volume 20, Issue 1, February 1985, Pages 92-102   

2010년 6월 8일 (화) 14:16 판

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개요
  • 다음과 같은 이항계수로 정의
    \({2n \choose n}=\frac{(2n)!}{(n!)^2}\)

 

 

급수와 중심이항계수
  • 이항급수와 이항정리
    \(\frac{1}{\sqrt{1-4z}}=\sum_{n=0}^{\infty} {{2n}\choose {n}} z^n\)
  • 역삼각함수
    \(2(\arcsin x)^2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}\)
    \(\frac{2x \arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n\binom{2n}{n}}\)
  • 카탈란 수열(Catalan numbers) 의 생성함수
    \(G(x)= c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + \cdots + c_n x^n + \cdots=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}\)
    \(c_n = \frac{1}{n+1}{2n\choose n}\)

 

 

 

리만제타함수

\(\zeta(2)=3\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}\binom{2n}{n}}\)

\(\zeta(3) = \frac{5}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^3\binom{2n}{n}}\)

\(\zeta(4) = \frac{36}{17} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}\)

 

 

재미있는 사실

 

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

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사전 형태의 자료

 

 

관련논문
  • On the series Σk = 1∞(k2k)−1 k−n and related sums
    • I. J. Zucker, Journal of Number Theory, Volume 20, Issue 1, February 1985, Pages 92-102   
  • Some wonderful formulas ... an introduction to polylogarithms
    • A.J. Van der Poorten, Queen's papers in Pure and Applied Mathematics, 54 (1979), 269-286

 

 

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