이항계수와 조합

수학노트
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개요

  • n개의 서로 다른 물건에서 r개를 선택하는 방법\[_n C_r = {n\choose r} = {{n!} \over {r!(n - r)!}}\]
  • 조합(combination)이라고도 함
  • 조합수학에서 가장 기본적이며 중요한 수열의 하나
  • 중요한 성질
    • palindromic
    • unimodality



생성함수

  • 생성함수\[(1+x)^n=\sum_{r=0}^{n} {n\choose r}x^r = {n\choose 0} + {n\choose 1}x + \cdots + {n\choose r}x^r + \cdots + {n\choose n}x^n\]



점화식

  • n에 대한 이항계수를 통해, \(n+1\)에 대한 이항계수를 유도할 수 있음\[{n\choose r-1}+{n\choose r}={n+1\choose r}\]




이항계수의 합

\(2^n=\sum_{r=0}^{n} {n\choose r} = {n\choose 0} + {n\choose 1} + \cdots + {n\choose n}\)

(증명)

\((1+x)^n=\sum_{r=0}^{n} {n\choose r}x^r = {n\choose 0} + {n\choose 1}x + \cdots + {n\choose r}x^r + \cdots + {n\choose n}x^n\)

\(x=1\)을 대입 ■


\(n 2^{n-1}= \sum_{r=0}^{n} r {n\choose r}=0 {n\choose 0} + 1 {n\choose 1} + \cdots + r {n\choose r} + \cdots + n {n\choose n}\)

  • 예\[80= 5 \times 2^4 = 0 {5\choose 0} + 1 {5\choose 1} + 2 {5\choose 2} +3 {5\choose 3} +4 {5\choose 4} + 5 {5\choose 5}\]



파스칼의 삼각형



이항계수의 q-analogue

  • q-이항계수와 q-이항정리 항목 참조
  • 팩토리얼(factorial)의 q-analogue\[[n]_q!= [1]_q [2]_q \cdots [n-1]_q [n]_q=\frac{1-q}{1-q} \frac{1-q^2}{1-q} \cdots \frac{1-q^{n-1}}{1-q} \frac{1-q^n}{1-q} =\frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)^n}\]\[_n C_r = {n\choose r} = {{n!} \over {r!(n - r)!}}\]\[{{[n]_q!} \over {[r]_q![n - r]_q!}}=\frac{(q;q)_n}{(q;q)_r(q;q)_{n-r}}=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)_q^r (1-q)_q^{n-r}}\]



역사



메모

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