"초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)"의 두 판 사이의 차이

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* [http://www.jstor.org/stable/2975319 On the Kummer Solutions of the Hypergeometric Equation]<br>
 
* [http://www.jstor.org/stable/2975319 On the Kummer Solutions of the Hypergeometric Equation]<br>
 
** Reese T. Prosser, <cite style="line-height: 2em;">The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 101, No. 6 (Jun. - Jul., 1994), pp. 535-543
 
** Reese T. Prosser, <cite style="line-height: 2em;">The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 101, No. 6 (Jun. - Jul., 1994), pp. 535-543
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* On Kummer's Twenty-Four Solutions of the Hypergeometric Differential EquationB. DworkTransactions of the American Mathematical Society, Vol. 285, No. 2 (Oct., 1984), pp. 497-521
  
 
 
 
 

2010년 7월 31일 (토) 15:53 판

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개요
  • \(0,1,\infty\) 세 점에서 정규특이점(regular singular points)을 가지는 2계 선형 미분방정식
  • 다음과 같은 미분방정식을 말함
    \(z(1-z)\frac{d^2w}{dz^2}+(c-(a+b+1)z)\frac{dw}{dz}-abw = 0\)
  • 리만구면 상의 세 점에서 정규특이점을 갖는 미분방정식은 초기하미분방정식으로 변형가능
  • 19세기에 활발하게 연구
  • Fuchsian 미분방정식의 간단하고 중요한 예로 이론의 모델을 제공

 

 

급수해

\(\,_2F_1(a,b;c;z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_nn!}z^n, |z|<1\)

여기서 \((a)_n=a(a+1)(a+2)...(a+n-1)\)는 Pochhammer 기호와 캐츠(Kac) 기호

 

 

 

쿰머의 24개 해
  • \(0,1,\infty\) 각 세 점에서의 급수해를 통해 서로 다른 여섯개의 해를 얻고, 오일러-가우스 초기하함수에 서술된 오일러 변환을 통해 각 해의 여섯가지 표현을 얻어 24개를 얻는다
  • \(z=0\)에서의 급수해
    \(_2F_1(a,b;c;z)\)
    \(z^{1-c}{}_2F_1(b+1-c,a+1-c;2-c;z)\)
  • \(z=1\)에서의 급수해
    \(_2F_1(a,b;a+b+1-c;1-z)\)
    \((1-z)^{c-a-b}{}_2F_1(c-a,c-b;c+1-a-b;1-z)\)
  • \(z=\infty\)에서의 급수해
    \(z^{-a}{}_2F_1(a,a+1-c;a+1-b;z^{-1})\)
    \(z^{-b}{}_2F_1(b+1-c,b;b+1-a;z^{-1})\)

 

 

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