초등정수론

간단한 요약

• 정수와 관련된 기본적인 개념들을 공부함.
• 합동식에 대한 여러 정리와 이차잉여의 상호법칙을 공부함.
• 초등정수론 다음은 대략 두 갈래의 길로 나뉘게 되는데, 하나는 정수계수 이차형식을 공부하는 것이고, 다른 하나는 대수적 수론을 공부하는 것임.
• 정수계수 2변수 이차형식의 이론은  Dirichlet class number formula for imaginary(or real) quadratic fields의 같지만 다른 모습
• 고차원의 정수계수 이차형식을 공부하기 전에 정수계수 2변수 이차형식을 공부.
• 대수적수론을 공부하기 전에, Dirichlet class number formula for imaginary(or real) quadratic fields을 공부하면, 대수적수론의 중요한 다양한 개념을 비교적 용이하게 배울 수 있음.
   
  

선수 과목 또는 알고 있으면 좋은 것들

• 필수적인 것은 없음.
• 약수와 배수
• 추상대수학의 몇가지 개념은 알고 있으면 유용함
  
  • 순환군
  • 유한생성 아벨군의 기본정리
  • 유한체

 

다루는 대상

• 정수, 자연수, 소수
• 합동식
• 디오판투스 방정식

 

중요한 개념 및 정리

• 합동식
• 오일러-페르마 정리
• 뿌리근 Primitive root
• 이차잉여
• 이차잉여의 상호법칙
• 정수계수 2변수 이차형식
  
  • 아래 참고할만한 자료에 J.P. Serre의 \(\Delta=b^2-4ac\)를 참조.
• 연분수
• 펠방정식

 

유명한 정리 혹은 재미있는 문제

• 유리수의 십진전개 (decimal fractions)
• 황금비와 연분수

 

다른 과목과의 관련성

• 추상대수학
  
  • 군론과 유한체의 개념을 바탕으로 이해하는 것이 좋음.
  • 초등정수론에서 자연스럽게 등장하는 군
    
    • the additive group of integers modulo m
    • the multiplicative group of integers relatively prime to m, modulo m
    • the group of equivalence classes of binary quadratic forms
    • the group of n-th roots of unity
• (Crytography)
  

관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들

• 이차형식
• p-adic 해석학
• Dirichlet class number formula for imaginary(or real) quadratic fields
• 이차잉여의 법칙의 일반화
• 타원곡선
• Fermat's last theorem
• 대수적정수론
• 해석적정수론
• Class field theory

 

 

 

추천도서 및 보조교재

• From Fermat to Minkowski: Lectures on the Theory of Numbers and Its Historical Development
  
  • Winfried Scharlau, Hans Opolka
    

 

 

참고할만한 자료

• The Unique Factorization Theorem: From Euclid to Gauss
  
  • Mary Joan Collison
  • Mathematics Magazine, Vol. 53, No. 2 (Mar., 1980), pp. 96-100
• The Fundamental Theorem of Arithmetic Dissected
  
  • Ahmet G. Agargün and Colin R. Fletcher
  • The Mathematical Gazette, Vol. 81, No. 490 (Mar., 1997), pp. 53-57
• Quadratic Reciprocity: Its Conjecture and Application
  
  • David A. Cox
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 95, No. 5 (May, 1988), pp. 442-448
• Euler and Quadratic Reciprocity
  
  • Harold M. Edwards
    
  • Mathematics Magazine, Vol. 56, No. 5 (Nov., 1983), pp. 285-291
• Theorems on Quadratic Residues
  
  • Albert Leon Whiteman
  • Mathematics Magazine, Vol. 23, No. 2 (Nov. - Dec., 1949), pp. 71-74
• Why Study Equations over Finite Fields?
  
  • Neal Koblitz
  • Mathematics Magazine, Vol. 55, No. 3 (May, 1982), pp. 144-149
• \(\Delta=b^2-4ac\), Introduction to integral binary quadratic forms
  
  • J.P. Serre
  • Math. Medley, Singapore Math.Soc. 13 (1985), 1-10

• A One-Sentence Proof That Every Prime $p\equiv 1(\mod 4)$ Is a Sum of Two Squares
  
  • D. Zagier
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 97, No. 2 (Feb., 1990), p. 144
• A Short Proof That Every Prime $p \equiv 3 (\mathrm{mod} 8)$ Is of the Form x2 + 2y2
  
  • Terence Jackson
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 107, No. 5 (May, 2000), p. 447