"초등정수론"의 두 판 사이의 차이
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* Class field theory | * Class field theory | ||
2008년 10월 26일 (일) 04:33 판
간단한 요약
- 정수와 관련된 기본적인 개념들을 공부함.
- 합동식에 대한 여러 정리와 이차잉여의 상호법칙을 공부함.
- 초등정수론 다음은 대략 두 갈래의 길로 나뉘게 되는데, 하나는 정수계수 이차형식을 공부하는 것이고, 다른 하나는 대수적 수론을 공부하는 것임.
- 정수계수 2변수 이차형식의 이론은 Dirichlet class number formula for imaginary(or real) quadratic fields의 같지만 다른 모습
- 고차원의 정수계수 이차형식을 공부하기 전에 정수계수 2변수 이차형식을 공부.
- 대수적수론을 공부하기 전에, Dirichlet class number formula for imaginary(or real) quadratic fields을 공부하면, 대수적수론의 중요한 다양한 개념을 비교적 용이하게 배울 수 있음.
선수 과목 또는 알고 있으면 좋은 것들
- 필수적인 것은 없음.
- 약수와 배수
- 추상대수학의 몇가지 개념은 알고 있으면 유용함
- 순환군
- 유한생성 아벨군의 기본정리
- 유한체
다루는 대상
- 정수, 자연수, 소수
- 합동식
- 디오판투스 방정식
중요한 개념 및 정리
- 합동식
- 오일러-페르마 정리
- 뿌리근 Primitive root
- 이차잉여
- 이차잉여의 상호법칙
- 정수계수 2변수 이차형식
- 아래 참고할만한 자료에 J.P. Serre의 \(\Delta=b^2-4ac\)를 참조.
- 연분수
- 펠방정식
유명한 정리 혹은 재미있는 문제
- 유리수의 십진전개 (decimal fractions)
- 황금비와 연분수
다른 과목과의 관련성
- 추상대수학
- 군론과 유한체의 개념을 바탕으로 이해하는 것이 좋음.
- 초등정수론에서 자연스럽게 등장하는 군
- the additive group of integers modulo m
- the multiplicative group of integers relatively prime to m, modulo m
- the group of equivalence classes of binary quadratic forms
- the group of n-th roots of unity
- 암호론(Crytography)
관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들
- 이차형식
- p-adic 해석학
- Dirichlet class number formula for imaginary(or real) quadratic fields
- 이차잉여의 법칙의 일반화
- 타원곡선
- Fermat's last theorem
- 대수적정수론
- 해석적정수론
- Class field theory
표준적인 교과서
추천도서 및 보조교재
- From Fermat to Minkowski: Lectures on the Theory of Numbers and Its Historical Development
- Winfried Scharlau, Hans Opolka
- Winfried Scharlau, Hans Opolka
참고할만한 자료
- The Unique Factorization Theorem: From Euclid to Gauss
- Mary Joan Collison
- Mathematics Magazine, Vol. 53, No. 2 (Mar., 1980), pp. 96-100
- The Fundamental Theorem of Arithmetic Dissected
- Ahmet G. Agargün and Colin R. Fletcher
- The Mathematical Gazette, Vol. 81, No. 490 (Mar., 1997), pp. 53-57
- Quadratic Reciprocity: Its Conjecture and Application
- David A. Cox
- The American Mathematical Monthly, Vol. 95, No. 5 (May, 1988), pp. 442-448
- Euler and Quadratic Reciprocity
- Harold M. Edwards
- Mathematics Magazine, Vol. 56, No. 5 (Nov., 1983), pp. 285-291
- Harold M. Edwards
- Theorems on Quadratic Residues
- Albert Leon Whiteman
- Mathematics Magazine, Vol. 23, No. 2 (Nov. - Dec., 1949), pp. 71-74
- Why Study Equations over Finite Fields?
- Neal Koblitz
- Mathematics Magazine, Vol. 55, No. 3 (May, 1982), pp. 144-149
- \(\Delta=b^2-4ac\), Introduction to integral binary quadratic forms
- J.P. Serre
- Math. Medley, Singapore Math.Soc. 13 (1985), 1-10
- A One-Sentence Proof That Every Prime $p\equiv 1(\mod 4)$ Is a Sum of Two Squares
- D. Zagier
- The American Mathematical Monthly, Vol. 97, No. 2 (Feb., 1990), p. 144
- A Short Proof That Every Prime $p \equiv 3 (\mathrm{mod} 8)$ Is of the Form x2 + 2y2
- Terence Jackson
- The American Mathematical Monthly, Vol. 107, No. 5 (May, 2000), p. 447