"클라인-고든 방정식"의 두 판 사이의 차이

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2012년 7월 9일 (월) 20:20 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요
  • 슈뢰딩거 방정식 의 상대론적 일반화의 시도로부터 얻어짐
  • 스핀-0 입자의 스칼라 장에 대한 방정식
  • 특수 상대성 이론의 관계식 \(E^2=p^2+m^2\) 로부터 얻을 수 있다
  • \(\Box + m^2=\frac{\partial^2}{\partial t^2 } - \nabla^2 +m^2\)
  • \((\Box + m^2) \phi = 0\)
    • \((\Box + m^2) \phi =\phi_{tt}-\phi_{xx}+m^2\phi=0\)
    • \((\Box + m^2) \phi =\phi_{tt}-\phi_{xx}-\phi_{yy}-\phi_{zz}+m^2\phi=0\)

 

 

오일러-라그랑지 방정식
  • 라그랑지안 \(\mathcal{L}(\varphi) = \frac{1}{2}\{(\partial_{\mu}\varphi)^2 - m^2\varphi^2\}\)  에 대하여 오일러-라그랑지 방정식
    \(\partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\mu \varphi )} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi} = 0\)   을 적용하여 얻어진다

 

 

 

free particle solution
  • \(\psi(t,\vec{x})=Ae^{-i(E t-\vec{p}\cdot \vec{x})}\) 이 해가 되려면 \(E^2=m^2+\vec{P}^2\) 을 만족해야 한다

 

 

 

푸리에 급수해

\(\psi(x)=\int\frac{d^3 k}{(2\pi)^{3/2}\sqrt{2\omega_{k}}}[a(\vec{k})e^{-i \omega_{k}x^{0}-\vec{k}\cdot \vec{x}}+a^{\dagger}(\vec{k})e^{i \omega_{k}x^{0}-\vec{k}\cdot \vec{x}}]\)

 

 

역사
  • 클라인-고든 방정식의 해를 양자역학에서의 상대론적 파동함수로 해석할 때의 두 가지 문제점
    • negative energy states 의 존재
    • negative probability density
  • 파동함수가 아닌 장 방정식으로 해석할 때 문제점이 사라진다
  • http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
  • 수학사연표

 

 

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